1、考点规范练35直接证明与间接证明基础巩固1.要证:a2+b2-1-a2b20,只需证明()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-a4+b420C.(a+b)22-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)02.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证:b2-ac0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则()A.PQB.P0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负7.(2017山东烟台模拟)设ab0,m=a-b,n=a-b,则m,n的
2、大小关系是.8.6+7与22+5的大小关系为.9.(2017河北唐山模拟)已知a0,1b-1a1,求证:1+a11-b.10.在等差数列an中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列bn的各项均为正数,b1=1,公比为q(q1),且b2+S2=12,q=S2b2.(1)求an与bn;(2)证明:131S1+1S2+1Sn23.能力提升11.若A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形C.A1B1C1是钝角三角形,A2B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形,A2B2C
3、2是钝角三角形12.已知a,b,(0,+),且1a+9b=1,要使得a+b恒成立,则的取值范围是.13.在RtABF中,AB=2BF=4,C,E分别是AB,AF的中点(如图1).将此三角形沿CE对折,使平面AEC平面BCEF(如图2),已知D是AB的中点.求证:(1)CD平面AEF;(2)平面AEF平面ABF.图1图2高考预测14.(2017贵州安顺调研)已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有f(x1)+f(x2)2fx1+x22.15.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=an+1+n-2,nN+,a1=2.(1)证明:数列an-1是等比数列,并求数列an的通项公式
4、;(2)设bn=3nSn-n+1(nN+)的前n项和为Tn,证明:Tn6.参考答案考点规范练35直接证明与间接证明1.D解析在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)0a2+b2-1-a2b20,故选D.2.C解析b2-ac3ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.故选C.3.A解析因为2x+2-x22x2-x=2(当且仅当x=0时等号成立),而x0,所以P2;又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x1,所以Q2.于是PQ.故选A.4.B解析由已知条件,可得a+c=2b,x2
5、=ab,y2=bc.由得a=x2b,c=y2b.代入,得x2b+y2b=2b,即x2+y2=2b2.故x2,b2,y2成等差数列.5.D解析a0,b0,c0,a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c6,当且仅当a=b=c=1时等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.6.A解析由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x20,可知x1-x2,即f(x1)f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)0,故选A.7.mn解析方法一(取特殊值法):取a=2,b=1,得mn.方法二(分析法):a-ba-bab+
6、a-ba0,显然成立.8.6+722+5解析要比较6+7与22+5的大小,只需比较(6+7)2与(22+5)2的大小,只需比较6+7+242与8+5+410的大小,只需比较42与210的大小,只需比较42与40的大小.4240,6+722+5.9.证明由已知1b-1a1及a0可知0b11-b,只需证1+a1-b1,只需证1+a-b-ab1,只需证a-b-ab0,即a-bab1,即1b-1a1,这是已知条件,所以原不等式得证.10.(1)解设等差数列an的公差为d.因为b2+S2=12,q=S2b2,所以q+6+d=12,q=6+dq.解得q=3,d=3.(q=-4舍去)故an=3+3(n-1)
7、=3n,bn=3n-1.(2)证明因为Sn=n(3+3n)2,所以1Sn=2n(3+3n)=231n-1n+1.所以1S1+1S2+1Sn=231-12+12-13+13-14+1n-1n+1=231-1n+1.因为n1,所以01n+112,所以121-1n+11,所以13231-1n+123.所以131S1+1S2+1Sn23.11.D解析由条件知,A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形,且A2B2C2不可能是直角三角形.假设A2B2C2是锐角三角形.由sinA2=cosA1=sin2-A1,sinB2=cosB1=sin2-B1,sinC2=cosC1=sin2
8、-C1,得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,则A2+B2+C2=2,这与三角形内角和为180相矛盾.因此假设不成立,故A2B2C2是钝角三角形.12.(0,16解析a,b(0,+),且1a+9b=1,a+b=(a+b)1a+9b=10+9ab+ba10+29=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立).a+b的最小值为16.要使a+b恒成立,只需16.00,3x20,因此由均值不等式知3x1+3x223x13x2显然成立.故原结论成立.15.证明(1)因为Sn=an+1+n-2,所以当n2时,Sn-1=an+(n-1)-2=an+n-3,两式相减,得an=an+1-an+1,即a
9、n+1=2an-1.设cn=an-1,代入上式,得cn+1+1=2(cn+1)-1,即cn+1=2cn(n2).又Sn=an+1+n-2,则an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=3.所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,即c2=2c1.综上,对于正整数n,cn+1=2cn都成立,即数列an-1是等比数列,其首项a1-1=1,公比q=2.所以an-1=12n-1,故an=2n-1+1.(2)由Sn=an+1+n-2,得Sn-n+2=an+1=2n+1,即Sn-n+1=2n,所以bn=3n2n.所以Tn=b1+b2+bn-1+bn=32+622+3n2n,2,得2Tn=3+62+3322+3n2n-1,-,得Tn=3+32+322+32n-1-3n2n=31+12+122+12n-1-3n2n=31-12n1-12-3n2n=6-3n+62n.因为3n+62n0,所以Tn=6-3n+62n6.
