1、2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设ab0，下列不等式一定成立的是（）Aa2abb2Bb2aba2Ca2b2abDabb2a22设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A2B3C4D53将二进制110101（2）转化为十进制为（）A106B53C55D1084从分别写上数字1，2，3，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）ABCD5已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图
2、所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A62B63C64D656不等式x2ax12a20（a0）的解集是（）A（3a，4a）B（4a，3a）C（3，4）D（2a，6a）7如图所示的程序框图表示求算式“235917”之值，则判断框内可以填入（）Ak10Bk16Ck22Dk348如图，程序运行后的输出结果为（）A9B11C13D159给出以下四个命题：若x2+y2=0，则x=y=0“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若x=2，则x23x+2=0”的逆命题“若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等”的否命题其中真命题的序号是（）ABCD10下列四个命题中正确命题的个数是（）（1）若A
3、，B为互斥事件，则P（A）+P（B）=1（2）若A，B为互斥事件，则P（A）+P（B）1（3）互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件（4）一人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”A1B2C3D411结论“对任意的x1，2，x2a0恒成立”成立的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba5Ca4Da512若正实数a，b满足a+b=1，则（）A有最大值4Bab有最小值C有最大值Da2+b2有最小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13228与1995的最大公约数是14某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表已知在全校学生中随机抽取1名，抽
4、到二年级女生的可能性0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 一年级二年级三年级女生373C2C1男生377370C215如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为16已知，则的最小值为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解关于x的不等式018已知集合A=y|y=x2，x，B=x|x+m21（）求集合A；（）若p：xA；q：xB且p是q的充分条件，求实数m的取值范围19如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在15，18）内频数为8求
5、：（1）求样本容量；（2）若在12，15）内的小矩形面积为0.06，求在12，15）内的频数；（3）求样本在18，33）内的频率20某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2与3m2用A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个问A、B两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？21假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系（1）请画出上表数
6、据的散点图；（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程=bx+a的回归系数a，b；（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？22已知实数a2，1，1，2，b=2，1，1，2（1）求点（a，b）在第一象限的概率；（2）求直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设ab0，下列不等式一定成立的是（）Aa2abb2Bb2aba2Ca2b2abDabb2a2【考点】不等式的基本性质【专题】不等式的
7、解法及应用【分析】利用不等式的基本性质即可得出【解答】解：ab0，a2ab，abb2，即a2abb2，故选：B【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A2B3C4D5【考点】简单线性规划的应用【专题】计算题【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，zmax=5，故选D【点评】在解决
8、线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解3将二进制110101（2）转化为十进制为（）A106B53C55D108【考点】排序问题与算法的多样性【专题】计算题【分析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案【解答】解：110101（2）=1+122+124+125=53，故选B【点评】二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数大家在做二进制转换成十进制需要注意的是：
9、（1）要知道二进制每位的权值；（2）要能求出每位的值4从分别写上数字1，2，3，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）ABCD【考点】等可能事件的概率【专题】计算题【分析】所有的取法有C92=36种，两数积是完全平方数的取法只有4种，故两数积是完全平方数的概率为【解答】解：所有的取法有C92=36种，当取出的两个数是1和4，1和9，2和8，4和9时，两数积是完全平方数故两数积是完全平方数的概率为=，故选 A【点评】本题考查等可能事件的概率，求得两数积是完全平方数的取法只有4种，是解题的难点5已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲
10、、乙两人得分的中位数之和是（）A62B63C64D65【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图【专题】计算题；图表型【分析】由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数，乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36，做出两个数字之和【解答】解：由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数=27乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36甲和乙两个人的中位数之和是27+36=63故选B【点评】本题考查茎叶图和中位数，本题解题的关键是先看出这组数据的个数，若个数是一个偶数，中位数是中间两个数字的平均数，若数字是奇数个，中位数是中间一个数字6不等式x2ax12a20（a0）的解集是（
11、）A（3a，4a）B（4a，3a）C（3，4）D（2a，6a）【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题【分析】把原不等式的左边分解因式，根据两数相乘积为负数，得到两因式为异号，转化为两个一元一次不等式组，根据a小于0，得到4a小于0，3a大于0，即可求出原不等式的解集【解答】解：x2ax12a20，因式分解得：（x4a）（x+3a）0，可化为：或，a0，4a0，3a0，解得：4ax3a，则原不等式的解集是（4a，3a）故选B【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是高考中常考的基本题型学生做题时注意a0这个条件的运用7如图所示的程序框图表示求算式“235917”之值，则判断
12、框内可以填入（）Ak10Bk16Ck22Dk34【考点】程序框图【专题】图表型【分析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知235917五个数的积故程序只需运行5次运行5次后，k值变为33，即可得答案【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“235917”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，235917五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k33，或者k22故选C【点评】本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果8如
13、图，程序运行后的输出结果为（）A9B11C13D15【考点】伪代码【专题】图表型【分析】根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的S即可【解答】解：第一次运行得：i=3，s=9，i=2满足i4，则继续运行第二次运行得：i=4，s=11，i=3满足i4，则继续运行第三次运行得：i=5，s=13，i=4不满足i4，则停止运行，输出s=13故选C【点评】本题考查程序框图，解题的关键是理解题设中框图的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果9给出以下四个命题：若x2+y2=0，则x=y=0“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若x=2，则x
14、23x+2=0”的逆命题“若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等”的否命题其中真命题的序号是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；规律型；简易逻辑【分析】判断命题与逆否命题的关系，判断命题的真假推出结果即可【解答】解：若x2+y2=0，则x=y=0显然成立，正确；“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题：a+b不是偶数，则a，b不都是偶数，正确；“若x=2，则x23x+2=0”的逆命题：x23x+2=0则x=2，也可能x=1，所以不正确；“若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等”的否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等”，不正确；正确命题为：故选
15、：D【点评】本题考查命题的真假是判断与应用，四种命题的逆否关系，是基础题10下列四个命题中正确命题的个数是（）（1）若A，B为互斥事件，则P（A）+P（B）=1（2）若A，B为互斥事件，则P（A）+P（B）1（3）互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件（4）一人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑【分析】根据互斥事件概率加法公式，对立事件是互斥事件的子集，对立事件的定义，即可得出结论【解答】解：由互斥事件概率加法公式可得：P（A）+P（B）1，故（1）不正确；（2）
16、正确；互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，对立事件是互斥事件的子集，故正确；根据对立事件的定义可得，事件“至少有一次中靶”的对立事件是：两次都不中靶，故正确故选：C【点评】本题主要考查了互斥事件概率加法公式，以及互斥事件、对立事件等有关概念，属于基础题11结论“对任意的x1，2，x2a0恒成立”成立的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba5Ca4Da5【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑【分析】先求命题“x1，2，x2a0”成立的一个充要条件即可【解答】解：命题“x1，2，x2a0”“x1，2，x2a”4aa5是命题“x1，2，x2a0
17、”成立一个充分不必要条件故选：B【点评】此题主要考查必要条件和充分条件的定义，及必要条件，充分条件的判断，此类题是高考的热点问题12若正实数a，b满足a+b=1，则（）A有最大值4Bab有最小值C有最大值Da2+b2有最小值【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】由于=2+4，故A不正确由基本不等式可得 a+b=12，可得 ab，故B不正确由于 =1+22，故，故 C 正确由a2+b2 =（a+b）22ab1=，故D不正确【解答】解：正实数a，b满足a+b=1，=2+2+2=4，故有最小值4，故A不正确由基本不等式可得 a+b=12，ab，故ab有最大值，故B不正确 由于 =a+b+2=1+2
18、2，故有最大值为，故C正确a2+b2 =（a+b）22ab=12ab1=，故a2+b2有最小值，故D不正确故选：C【点评】本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13228与1995的最大公约数是57【考点】最大公因数【专题】计算题【分析】利用两个数中较大的一个除以较小的数字，得到商是8，余数是171，用228除以171，得到商是1，余数是57，用171除以57，得到商是3，没有余数，所以两个数字的最大公约数是57，得到结果【解答】解：1995228=8171，228171=157，17157=3，2
19、28与1995的最大公约数是57，故答案为：57【点评】本题考查用辗转相除计算最大公约数，是一个基础题，这种题目出现的机会不是很多，属于基础题14某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为16 一年级二年级三年级女生373C2C1男生377370C2【考点】分层抽样方法【专题】计算题【分析】由题意，二年级女学生数为20000.19=380人，由此可计算三件及学生数和三年级学生所占的比例，按此比例即可求出三年级抽取的学生人数【解答】解：由题意，二年级女学生数为20
20、000.19=380人，所以三年级的学生数为；2000373377380370=500人，所占比例为所以应在三年级抽取的学生人数为 64=16故答案为：16【点评】本题考查分层抽样知识，抓住各层抽取的比例一致是解决分层抽样问题的关键15如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为12【考点】几何概型【专题】计算题；规律型；概率与统计【分析】椭圆的面积，可利用概率模拟全家福，只要利用平面图形的面积比求概率即可【解答】解：由题意，以面积为测度，则=S椭圆=12故答案为：12【点评】本题考查几何概型，考查概率模拟，考查
21、学生的计算能力，属于基础题16已知，则的最小值为1【考点】基本不等式；函数的值域【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】把给出的函数的分母提取2，分子配方后拆项，然后借助于基本不等式求函数的最小值【解答】解：，x20，（当且仅当x2=，即x=3时“=”成立）的最小值为1故答案为1【点评】本题考查了函数的值域的求法，训练了利用基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值，要保证：“一正、二定、三相等”，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解关于x的不等式0【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】
22、由x2+10，原不等式化为x23x+20，解得即可【解答】解：x2+10，原不等式化为x23x+20，解得x1或x2，故原不等式的解集为（，1）（2，+）【点评】本题考查分式不等式的解集，转化不等式是解决问题的关键，属基础题18已知集合A=y|y=x2，x，B=x|x+m21（）求集合A；（）若p：xA；q：xB且p是q的充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】集合；简易逻辑【分析】（）求集合A；（）若p：xA；q：xB且p是q的充分条件，求实数m的取值范围【解答】解：（）y=x2=（x）2+，x，y2，即集合A=，2；（）B=x|x+m21=x|x1m2
23、若p：xA；q：xB且p是q的充分条件，则AB，1m2，即m2，解得m或m，即实数m的取值范围是m|m或m【点评】本题主要考查集合的计算，以及充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键19如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在15，18）内频数为8求：（1）求样本容量；（2）若在12，15）内的小矩形面积为0.06，求在12，15）内的频数；（3）求样本在18，33）内的频率【考点】频率分布直方图【专题】计算题【分析】（1）根据在15，18）内频数为8做出在这一个范围中频率是小正方形的面积是，知道频率和频数做出样本容量（2）在12，15）内的小矩形面积为0.06，即这组数
24、据的频率是0.06，用频率乘以样本容量作出在12，15）内的频数，得到结果（3）根据在15，18）内频数为8，在12，15）内的频数是3，而样本容量是50，剩下的部分是要求的频数，只要样本容量减去前两组的频数，得到样本在18，33）内的频数【解答】解：（1）在15，18）内频数为8而在这一个范围中频率是=n=50；（2）在12，15）内的小矩形面积为0.06，即这组数据的频率是0.06，在12，15）内的频数是0.0650=3；（3）在15，18）内频数为8，在12，15）内的频数是3，样本容量是50，样本在18，33）内的频数是5038=39样本在18，33）内的频率是=0.78【点评】本题
25、考查频率，频数和样本容量之间的关系，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中20某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2与3m2用A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个问A、B两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的值域【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】先设A、B两种原料各为x，y个，抽象出约束条件为：，建立目标函数，作
26、出可行域，找到最优解求解【解答】解：设A种原料为x个，B种原料为y个，由题意有：，目标函数为Z=2x+3y，由线性规划知：使目标函数最小的解为（5，5），即A、B两种原料各取5，5块可保证完成任务，且使总的用料（面积）最小【点评】本题主要考查用简单线性规划来研究目标函数的最大和最小问题，同时，还考查了作图能力，数形结合，转化思想等21假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程=bx+a的回归系数a，b；（3）
27、估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【考点】线性回归方程【专题】数系的扩充和复数【分析】（1）根据表格中的数据画出散点图即可；（2）求出x与y的平均数，表示出，求出，根据=，计算即可得到结果；（3）把x=10代入（2）中结果计算即可得到结果【解答】解：（1）做出图象，如图所示：（2）由上表得： =4， =5，=22.2+33.8+45.5+56.5+67=112.3，=22+32+42+52+62=90，=1.23，则=1.23x+0.08；（3）由（2）得： =1.23x+0.08，把x=10代入得：=1.2310+0.08=12.38，则使用年限为10年时，维修费用是大概为12.38万
28、元【点评】此题考查了线性回归方程，弄清线性回归方程的意义是解本题的关键22已知实数a2，1，1，2，b=2，1，1，2（1）求点（a，b）在第一象限的概率；（2）求直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）先求出满足条件的点（a，b）共有44=16个，再用更举法过河卒子同点（a，b）在第一象限的基本事件个数，由此能求出点（a，b）在第一象限的概率（2）由直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点，b2a2+1，利用列举法求出满足条件直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的基本事件个数
29、，由此能求出直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率【解答】解：（1）实数a2，1，1，2，b=2，1，1，2，满足条件的点（a，b）共有44=16个，点（a，b）在第一象限的情况有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4个，点（a，b）在第一象限的概率p=（2）联立，得（a2+1）x2+2abx+b21=0，直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点，=4a2b24（a2+1）（b21）0，b2a2+1，当a=2时，b可取2，1，1，2，当a=1时，b可取1，1，当a=1时，b可取1，1，当a=2时，b可取2，1，1，2，满足条件直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的基本事件个数m=12种，基本事件总数n=16种，直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率p=【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用