1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1三种函数各自的增长特点(1)当a1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值增长越快(2)当a1时，对数函数ylogax(x0)是增函数，并且当a越小时，其函数值增长越快(3)当x0，n1时，幂函数yxn是增函数，并且当x1时，n越大，其函数值增长越快2三种函数的增长对比对数函数ylogax(a1)增长最慢，幂函数yxn(n0)，指数函数yax(a1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有axxnlogax. (1)2
2、xlog2x，x2log2x，在(0，)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立(2)2xx2在(0，)上一定成立吗？提示：不一定，当0x2和x4时成立，而当2x4时，2xx2.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数()提示：因为一次函数的图像是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值 (2)函数ylogx衰减的速度越来越慢()提示：由函数ylogx的图像可知其衰减的速度越来越慢 (3)不存在一个实数m使得当xm时1.1xx100.( )提示：.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当xm时，1.
3、1xx100.2下列函数中，增长速度最快的是()Ay2x By3xCy5x Dy10x【解析】选D.四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1，D项中底数10最大，则函数y10x的增长速度最快3当x4时，a4x，blog4x，cx4的大小关系是_.【解析】结合三个函数y4x，ylog4x，yx4的图像判断答案：acb类型一函数增长快慢的比较(数学抽象、直观想象)1四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i1，2，3，4)关于时间x(x1)的函数关系是f1(x)x2，f2(x)2x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()A
4、f1(x)x2 Bf2(x)2xCf3(x)log2x Df4(x)2x【解析】1.选D.由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大2四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是_【解析】从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中
5、变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化答案：y23函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12，9x210，所以x16x2.从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(6)x2时，f(x)g(x)，所以f(2 021)g(2 021).又g(2 021)g(6)，所以f(2 021)g(2 021)g(6)f(6).指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性递增递增递
6、增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同图像的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同【补偿训练】 函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图像如图所示(1)试根据函数的增长差异指出C1，C2分别对应的函数(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)【解析】(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当0xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x).类型二函数模型的选择问题(数学建模、逻辑推理)【典例】1.某商场2019年一月份到十二
7、月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：f(x)pqx(q0，q1)；f(x)logpxq(p0，p1)；f(x)x2pxq.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为_(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)10，f(3)2，则f(x)_【解析】函数f(x)pqx和f(x)logpxq都是(0，)上的单调函数，不符合题意，只有函数f(x)x2pxq符合题意因为f(1)10，f(3)2，所以解得，p8，q17，所以f(x)x28x17，x1，2，12答案：x28x17，x1，2，122某地西红柿从2月1日起开始上市通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/1
8、02kg)与上市时间t(单位：天)的数据如表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本【思路导引】1.由销售额呈现先下降后上升的特点可知对应的函数是不单调的2分析表中数据可知种植成本是不单调的【解析】(1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Qat2btc.(2)由(1)得解得则Qt2t.化简得Q(t150)2(t150)2100，所以当t150天时，
9、西红柿的种植成本最低，最低为100元/102kg.1选取三种模型的原则(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型(3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快2建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应
10、具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？【解析】借助计算器或计算机作出函数y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图像(如图)，观察图像发现，在区间10，1 000上，模型y0.25x，y1.002x的图像都有一部分在直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图像始
11、终在y5的下方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万对于模型y0.25x，它在区间10，1 000上单调递增，当x(20，1 000)时，y5，因此该模型不符合要求；对于模型y1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x05，由于它在区间10，1 000上单调递增，因此当xx0时，y5，因此该模型也不符合要求；对于模型ylog7x1，它在区间10，1 000上单调递增，而且当x1 000时，ylog71 00014.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求
12、再计算按模型ylog7x1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10，1 000时，是否有0.25成立令f(x)log7x10.25x，x10，1 000.利用计算器或计算机作出函数f(x)的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f(x)f(10)0.316 70，即log7x10.25x.所以，当x10，1 000时，0.25.说明按模型ylog7x1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型ylog7x1能符合公司要求1(教材习题改编)下列所给函数，增长最快的是()Ay5x Byx5Cylog5x Dy5x【解析】选D.在一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中，增长最快的是指
13、数函数y5x.2某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为()A640 B1 280 C2 560 D5 120【解析】选B.由题意可知，当t0时，y10；当t1时，y10ek20，可得ek2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e7k10(ek)71 280.3(2021济南高一检测)网络上盛极一时的数学恒等式“1.01301.3，1.0136537.8，1.017301 427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年
14、以及两年后产生巨大差异虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的_倍()A1.69 B1.748 C1.96 D2.8【解析】选A.小明每天进步2.01%，即0.020 1，则30天后为1.020 130(1.012)30(1.0130)2(1.3)21.69.所以30天后小明的学习成果约为原来的1.69倍4已知y随x的变化关系如下表：x51015202530y951 75834 0006.41071.21082.31010则函数y随x呈_型增长趋势【解析】根据表格中给出的数据作出函数的大致图像(图略)，由图像知y随x呈指数型增长趋势答案：指数关闭Word文档返回原板块