1、江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（美术班，含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知、，且，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法可判断A、B选项的正误，利用不等式的基本性质可判断C、D选项的正误.【详解】取，则，A、B选项错误；，由不等式的基本性质可得，C选项正确；当时，则，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题
2、.2.已知为虚数单位，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则可得出结果.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.3.已知向量，向量，若，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解出即可.【详解】，解得.故选：D.【点睛】本题考查空间向量垂直坐标表示，考查计算能力，属于基础题.4.双曲线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，所以 ，并且焦点在轴，那么焦点坐标就是 ，故选C.5.在等比数列中，则数列的前项的和为（
3、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出等比数列的公比，利用等比数列的求和公式可计算出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，解得，因此，数列的前项的和为.故选：D.【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是要求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.6.已知正实数、满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】，且，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，考查计算能力，属于基础题.7.关于的一元二次不等式的解集为（
4、）A. B. 或C. D. 或【答案】C【解析】【分析】将所求不等式变形为，即可得出该二次不等式的解集.【详解】原不等式为，即，解得，因此，关于的一元二次不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.8.已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（ ）A. B. 24C. D. 16【答案】D【解析】【分析】由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出，得椭圆的长轴长，而的周长等于两倍的长轴长【详解】由题意抛物线准线为，解得，的周长为故选：D【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是
5、求出值二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有( )A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.故选：BC.【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.10.若实数，则下列选项的不等式中，正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【
6、解析】【分析】利用基本不等式可判断出各选项的正误.【详解】由于，由基本不等式得，上述不等式当且仅当时，等号成立.故选：ACD.【点睛】本题考查利用基本不等式判断不等式的正误，考查推理能力，属于基础题.11.对于任意非零向量，以下说法错误的有( )A. 若，则B. 若，则C. D. 若，则为单位向量【答案】BD【解析】【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A、C选项的正误；利用空间共线向量的坐标表示可判断B选项的正误；利用空间向量模的坐标公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，因为，则，A选项正确；对于B选项，若，且，若，但分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数
7、量积的坐标运算可知，C选项正确；对于D选项，若，则，此时，不单位向量，D选项错误.故选：BD.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及空间共线向量的坐标表示和数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.12.在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】设椭圆的焦距为，根据椭圆的定义得出，再由可求得该椭圆离心率的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，解得，由题意可得，解得，又，所以，所以，该椭圆离心率的取值范围是.故符合条件的选项为BD.故选：BD.【点睛
8、】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆定义和性质的应用，求出椭圆离心率的取值范围是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题：“”，则：_【答案】【解析】全称命题否定是特称命题.故答案为14.已知数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】令求得的值，令，由题干中的等式得出，两式相减可得，再对是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式.【详解】对任意，.当时，则有；当时，则，两式相减得，解得.满足，因此，对任意的，.故答案为：.【点睛】本题考查利用求，一般利用来求解，但需对是否满足在时的表达式进行检验，考查计算能力，属于基础题.1
9、5.在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，则，因此，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，建立空间直角坐标系是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，点，点是椭圆上的一个动点，则的最大值与最小值的积为_.【答案】【解析】【分析】设点的坐标为，可得出，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最
10、大值和最小值，进而可求得结果.【详解】设点的坐标为，则，.当时，取最小值；当时，取最大值.因此，的最大值与最小值的积为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆上一点到坐标轴上一点距离最值的求解，涉及椭圆有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.莱昂哈德欧拉，瑞士数学家、自然科学家.岁时入读巴塞尔大学，岁大学毕业，岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家.其中之一就是他发现并证明欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：
11、两个超越数：自然对数的底数，圆周率；两个单位：虚数单位和自然数单位；以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”请你根据欧拉公式：，解决以下问题：（1）试将复数写成（、，是虚数单位）的形式；（2）试求复数的模.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据欧拉公式可将复数表示为一般形式；（2）根据欧拉公式将复数表示为一般形式，利用复数的模长公式可求得该复数的模.【详解】（1）根据欧拉公式可得；（2）由题意可知，因此，.【点睛】本题考查复数的三角表示，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于基础题.18.已知等比数列的各项都是正数，其前项的和为，.（1）求数列的通项公
12、式；（2）等差数列中，、成等比数列，求数列前项的和.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据已知条件得出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）设等差数列的公差为，由题意可得出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的求和公式可求出.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，由题意可得，解得，因此，；（2）设等差数列的公差为，则，由于、成等比数列，则，即，整理得.由题意可得，解得或.当时，；当时，.综上所述，或.【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了等差数列求和，第（2）问不要忽略了公差为零的讨论，涉及等差
13、数列和等比数列基本量的应用，考查计算能力，属于基础题.19.已知关于的一元二次不等式.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式的解集中恰有三个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可知，关于的一元二次方程的两根分别为、，进而可求得实数的值；（2）分和两种情况讨论，解出不等式，确定不等式解集中的三个整数，进而可求得实数的取值范围.【详解】（1）由题意可知，关于的一元二次方程的两根分别为、，则，整理得，解得；（2）不等式即为.当时，原不等式的解集为，则解集中的三个整数分别为、，此时；当时，原不等式的解集为，则解集中的三个整数分别为、，此时.综上所述
14、，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集以及解集中的整数解求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.20.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是的中点.（1）求证：平而；（2）若，求二而角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 连接与相交于，连接,利用中位线证,再根据判定定理证明平而;(2) 以为原点，分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系.再根据法向量可求得结果.【详解】（1）证明：连接与相交于，连接.底面是正方形，为中点，又是的中点， ,平面，平面,平面.（2）解：以为原点，分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系.， .取平面的一个法向量.设
15、平面的一个法向量为.由，得不妨令，解得，即，,.二面角的余弦值为【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,找线线平行是解题关键,考查了向量法求二面角,转化为两个平面的法向量求解是解题关键,属于中档题.21.在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若点，设直线与抛物线交于、两点，且直线、的斜率之和为，试证明：对于任意非零实数，直线必过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得的值，进而可求得抛物线的方程；（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线、的斜率之和为求得实数的
16、值，即可求得直线所过定点的坐标.【详解】（1），且抛物线的顶点到焦点的距离为，则该抛物线的焦点坐标为，解得，因此，该抛物线方程为；（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，.直线的斜率为，同理直线的斜率为，由题意得，上式对任意的非零实数都成立，则，解得，所以，直线的方程为，该直线过定点.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中直线过定点问题的证明，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.22.如图，已知椭圆：经过点，离心率.（）求椭圆的方程；（）设点为椭圆与轴正半轴的交点，点为线段的中点，点是椭圆上的动点（异于椭圆顶点）且直线，分别交直线于，两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（）；（）是定值，【解析】【分析】（）根据已知条件列方程组，求解椭圆方程；（）由（）求得点的坐标，并求直线的方程，设，根据三点共线求和，并表示.【详解】（）由题意可知：，解得，所以椭圆的方程：；（）由已知，点的坐标为，得直线 的方程为，设，因，三点共线，故，整理得，因，三点共线，故，整理得，因点在椭圆上，故，从而，所以为定值.【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题，本题所涉及直线比较多，分析问题时抓住关键求点的纵坐标并用点的纵坐标表示，并将表示为，这样问题迎刃而解.