1、河北省2020-2021学年高二数学上学期12月考试试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟2.请将各题答案填写在答题卡上3.本试卷主要考试内容;人教A版选修2-1，选修2-2第一章第卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“”的否定是“”故选：C2. 若双曲线实轴长为6，离心率，则其焦点坐标为（ ）A.
2、 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线离心率的公式，结合实轴长的定义、焦点坐标公式进行求解即可.【详解】因为双曲线的实轴长为6，所以，又因为双曲线的离心率，所以，双曲线的焦点在纵横上，所以该双曲线焦点的坐标为.故选：D3. 下列命题为真命题的是（ ）A. “两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件B. “”是“”的充要条件C. 两个无理数之和仍为无理数D. 所有的正偶数都不是素数【答案】B【解析】【分析】由推出关系可确定AB正误；由反例可知CD错误.【详解】对于A，两个三角形面积相等两个三角形全等；两个三角形全等两个三角形面积相等，“两个三角形的面积相等”
3、是“这两个三角形全等”的必要不充分条件，A错误；对于B，则“”是“”的充要条件，B正确；对于C，和均为无理数，但和为，是有理数，C错误；对于D，是素数，D错误.故选：B.4. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，则（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】依题意可得，再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为抛物线的焦点为，所以，所以，因为，所以故选：A5. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点若的焦距为4，则面积的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】不妨设在第一象限，在第四象限，联立方程组，求出，然后求解三角形的面积，利
4、用基本不等式转化求解最值即可【详解】解：不妨设第一象限，在第四象限，联立方程组，解得，故，同理可得，所以因为的焦距为4，所以，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为2故选：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力6. 正三棱柱的底面边长和高均为2，点为侧棱的中点，连接，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取中点，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用点到面的距离的空间向量求法即可求得结果.【详解】取中点，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，令，解得：，点到平面的距离.故选：C.7. 在三棱锥中，
5、平面，点在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，得，由，得，所以，设异面直线与所成角为，所以故选：D8. 已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意求得，代入函数解析式，把问题转化为恒成立，对分类讨论，分离参数，再由导数求最值得答案【详解】解：因为，所以，又函数的图象在处的切线方程为，所以，解得，所以，因为恒成立，所以恒成立当时，成立当时，令，则当时，在和上单调递减当时，单
6、调递增，当时，恒成立，所以；当时，恒成立，而，所以综上，所以m的取值范围为故选：A【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 已知函数的导函数为，则（ ）A. 偶函数B. 为奇函数C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据复合函数求导法则计算后逐一验证选项即可【详解】对于AB，因为是奇函数，所以
7、是偶函数，故A正确，B错误；对于C，故C正确；对于D，故D错误故选：AC10. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 与夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】【分析】由空间向量的坐标运算依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A，A错误；对于B，B正确；对于C，C正确；对于D，D正确.故选：BCD.11. 已知是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为原点，若，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的渐近线方程为C. 的面积为64D. 点到双曲线左焦点的距离是16【答案】AD【解析】【分析】根据双曲线方程求出离心率及渐近线方程，再由，得到，即可
8、求出，在中利用余弦定理求出，再求出面积即可；【详解】解：因为双曲线，所以，即，所以离心率，渐近线方程为，故A正确，B错误，因为，即，所以，所以所以，所以，故C错误，D正确；故选：AD12. 设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，过点的直线交椭圆于两点，且关于点对称，则下列结论正确的有（ ）A. 椭圆的方程为B. 椭圆的焦距为C. 椭圆上存在个点，使得D. 直线的方程为【答案】ACD【解析】【分析】由椭圆定义、勾股定理和椭圆关系可求得椭圆方程，知A正确；由的值可确定焦距，知B错误；由知在以线段为直径圆上，由知C正确；利用点差法可求得直线方程，知D正确.【详解】对于A，由椭圆的定义知：，解得：
9、，解得：，椭圆的方程为，A正确；对于B，由知：焦距为，B错误；对于C，由知，在以线段为直径圆上，由知：以线段为直径的圆与椭圆有个交点，即椭圆上存在个点，使得，C正确；对于D，由题意知点为弦的中点，设，则，两式相减得：，则，直线的方程为：，即，D正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：本题D选项考查了与弦中点有关的直线方程的求解问题，点差法是解决此类问题的常用方法，若弦中点坐标为，则以为中点的弦所在直线的斜率与中点坐标有关，具体结论为：（1）椭圆中，；（2）双曲线中，；（3）抛物线中，.第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13. 抛物线的准线方程为_【答案
10、】【解析】【分析】由准线方程为可直接得到结果.【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点在轴上，且，准线方程为.故答案为：.14. 已知函数是上的增函数，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】将题意转化为恒成立，从而得到，即可得到答案.【详解】，因为函数是上的增函数，所以恒成立.所以恒成立，即.又因为，所以，解得.故答案为：.15. 若是函数的极值点，则的极小值为_【答案】【解析】【分析】由极值点可知，从而求得；利用导数可求得单调性，确定极小值为.【详解】，是的极值点，即，解得：，当和时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，极小值为.故答案为：.16. 如图，正四面体的棱长为，的中心为，过点的平
11、面与棱所在的直线分别交于，则_【答案】【解析】【分析】根据，利用空间共面定理即可构造方程求得结果.【详解】为的中心，设，四点共面，即，.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 在椭圆的长轴长为8；椭圆与双曲线有相同的焦点；，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答问题：已知椭圆的左、右焦点分别，过点垂直于轴的弦长为6，且 .（1）求椭圆的标准方程；（2）设点，点是椭圆C上的任意一点，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）若选，根据题意得到，再解方程即可得到答案.若选，根据题意得
12、到，再根据即可得到答案，若选，根据题意得到，再根据求解即可.（2）根据题意得到，从而得到当，三点共线时，取得最大值，即可得到答案.【详解】选（1）由题意知，.因为过点垂直于轴的弦长为6，所以，则椭圆的标准方程为.选（1）由题知：，.因为过点垂直于轴的弦长为6，所以，即.由，解得，.所以椭圆的标准方程为.选（1）由题知：.因为过点垂直于轴的弦长为6.所以，即.由，得，从而，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意知，.因为，所以.所以当，三点共线时，取得最大值.又因为，所以，所以的最大值为.18. 已知函数（1）求的最值；（2）若的极小值点为，记集合，若“”为“”的充分不必要条件，求的取值范围【答案】
13、（1）最小值为，无最大值；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数可确定单调性，由此确定最值；（2）由（1）结论可知，由充分不必要条件定义可知，由此构造不等式组求得结果.【详解】（1）定义域为，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，即最小值为，无最大值.（2）由（1）知：极小值点为，；“”为“”的充分不必要条件，由得：；当时，；当时，；即等号不同时成立，的取值范围为.【点睛】结论点睛：本题第二问考查根据充分不必要条件求解参数范围，对于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合
14、的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件， 则对应的集合与对应集合互不包含19. 如图，在长方体中，为线段的中点，为棱的中点，且（1）证明：（2）若，求与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，由向量坐标运算得到，由此得到结论；（2）利用线面角的空间向量求法可直接求解得到结果.【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则，.（2）如同（1）建立空间直角坐标系.，则，.设平面的法向量为，则，即，令，解得：，.设与平面所成角为，则，与
15、平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：空间向量法求解线面角的正弦值基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）求得平面的法向量，设直线与平面所成角为，则.20. 在如图所示的四棱锥中，分别为，的中点，平面平面（1）证明：平面（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由中位线性质知，由线面平行判定定理可证得结论；（2）取的中点，由面面垂直性质可知平面，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1）分别为的中点，平面，平面，平面；（2）取的中点，连接.，平面平面，平面平面，平面，平面.过点
16、在平面内作的垂线，则两两垂直.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的法向量，即，令，则，又平面的一个法向量为，由图象可知二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.21. 已知函数，其中（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）设函数的最小值为，求函数的最大值【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
17、【解析】【分析】（1）根据切线斜率，利用导数几何意义构造方程求得，由的正负即可确定所求的单调区间；（2）由的正负确定单调性，得到，利用导数可求得的单调性，根据单调性可确定.【详解】（1）在处的切线与直线垂直，切线斜率，的定义域为，解得：或（舍），当时，；当时，；的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知：，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，即，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，.【点睛】关键点点睛：本题重点考查了利用导数求解函数最值的问题，求解函数最值的关键是能够根据导函数的正负确定函数的单调性，则函数的最值产生在极值点或者区间端点处.22. 已知，是抛物
18、线上两个不同的点，的焦点为（1）若直线过焦点，且，求的值；（2）已知点，记直线，的斜率分别为，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程【答案】（1）；（2）（除掉点）.【解析】【分析】（1）利用抛物线焦半径公式可直接求得结果；（2）设，与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式，代入中整理可求得，验证取值后得到所过定点；由知，知点的轨迹是以为直径的圆，确定圆心和半径后即可得到轨迹方程，验证可知轨迹中的不符合题意，由此得到最终结果.【详解】（1）由抛物线方程知：，准线方程为：，.（2）依题意可设直线，由得：，则，由化简整理可得：，则有，解得：或当时，解得：或，此时过定点，不符合题意；当时，对于恒成立，直线过定点，.，且四点共线，则点的轨迹是以为直径的圆设，的中点坐标为，则点的轨迹方程为当的坐标为时，的方程为，不符合题意，的轨迹方程为（除掉点）【点睛】关键点点睛：本题第二问考查了动点轨迹方程的求解问题，解题关键是能够根据，利用韦达定理构造出关于变量的方程，确定直线所过的定点坐标，进而根据垂直关系确定轨迹为圆.