1、2015-2016学年广东省深圳市科学高中高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合A=x|3x+20，B=x|（x+1）（x3）0，则AB=（）A（，1）BCD（3，+）2函数f（x）=log2x在区间上的最小值是（）A1B0C1D23已知，则是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角4在四边形ABCD中，如果，那么四边形ABCD的形状是（）A矩形B菱形C正方形D直角梯形5执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A2B5C11D236函数f（x）=Asin（x+）（A0，）
2、，|）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）Ay=sin2xBy=cos2xCy=sin（2x+）Dy=sin（2x）7已知=， =， =，则（）AA、B、D三点共线BA、B、C三点共线CB、C、D三点共线DA、C、D三点共线8下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Af（x）=3xBf（x）=x23xCDf（x）=log2|x|9若3sin+cos=0，则的值为（）ABCD210两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线xy2=0上，则m+n的值是（）A1B2C3D411动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连
3、线的中点的轨迹方程是（）A（x+3）2+y2=4B（x3）2+y2=1C（2x3）2+4y2=1D（x+3）2+y2=12已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）A4BC6D2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设向量等于14某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间将测试结果分成5组：13，14），14，15），15，16），16，17），17，18，得到如图所示的频率分布直方图如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在16，18的学生人数是15
4、某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是16曲线与直线y=k（x2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是1，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片（）若一次抽取3张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率（）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字3的卡片的概率18已知tan，tan是一元二次方程3x2+5x2=0的两根，且（0，），（，），（1）求cos（）的值；（2）求+的值19如图
5、，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1，且AA1=AB=2（1）求证：ABBC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角AA1CB的大小20某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示（）已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10，分别求出m，n的值；（）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格
6、”，求该车间“质量合格”的概率（注：方差，其中为数据x1，x2，xn的平均数）21已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值22已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S（）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（）求S的最大值，并求取得最大值时k的值2015-2016学年广东省深圳市科学高中高二（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合A=x|
7、3x+20，B=x|（x+1）（x3）0，则AB=（）A（，1）BCD（3，+）【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|3x+20=x|x，B=x|（x+1）（x3）0=x|x3或x1，则AB=x|x3，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键2函数f（x）=log2x在区间上的最小值是（）A1B0C1D2【考点】对数函数的图像与性质【专题】计算题；规律型；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】先分析函数f（x）=log2x的单调性，进而可得函数f（x）=log2x在区间上的最小值【解答】解：函数f（x
8、）=log2x在区间上为增函数，当x=时，函数f（x）取最小值1，故选：A【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，其中熟练掌握对数函数的单调性与底数的关系是解答的关键3已知，则是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【考点】三角函数值的符号【专题】计算题；对应思想；定义法；三角函数的求值【分析】然后根据的正弦值与余弦值，我们易得所在的象限【解答】解：，在第一、二象限，在第二、三象限，在第二象限，故选：B【点评】要判断角的位置，我们可以先确定角的三角函数值，然后再根据结论进行判断：sin：第一、二象限为正，第三、四象限为负；cos：第一、四象限为正，第二、三象限为负；tan
9、：第一、三象限为正，第二、四象限为负4在四边形ABCD中，如果，那么四边形ABCD的形状是（）A矩形B菱形C正方形D直角梯形【考点】平面向量数量积的运算；相等向量与相反向量【分析】数量积=0，两条直线垂直，向量相等，两条直线平行，容易推出结论【解答】解：由知ABAD，由知ABCD，AB=CD，故为矩形故选A【点评】本题考查平面向量数量积的运算，平行向量问题，是基础题5执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A2B5C11D23【考点】循环结构【专题】阅读型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的
10、运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： x y 是否继续循环循环前 2 5 是第一圈 5 11 是第二圈 11 23 否故输出y的值为23故选D【点评】本题主要考查了算法流程图，同时考查了分析问题的能力和读图的能力，属于基础题6函数f（x）=Asin（x+）（A0，），|）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）Ay=sin2xBy=cos2xCy=sin（2x+）Dy=sin（2x）【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计
11、算题【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出，函数过（），结合的范围，求出，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果【解答】解：由图象知A=1， T=，T=2，由sin（2+）=1，|得+=f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin2（x）+=sin（2x），故选D【点评】本题考查学生的视图能力，函数的解析式的求法，图象的变换，考查计算能力7已知=， =， =，则（）AA、B、D三点共线BA、B、C三点共线CB、C、D三点共线DA、C、D三点共线【考点】向量的共线定理；平行向量与共线向量【专题】平面向量及应用【分析】利用三角形法则可
12、求得，由向量共线条件可得与共线，从而可得结论【解答】解： =（）+3（）=+5，又=，所以，则与共线，又与有公共点B，所以A、B、D三点共线故选A【点评】本题考查向量共线的条件，属基础题，熟记向量共线的充要条件是解决问题的关键8下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Af（x）=3xBf（x）=x23xCDf（x）=log2|x|【考点】函数单调性的判断与证明【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可【解答】解：Af（x）=3x在（0，+）上为减函数Bf（x）=x23x=（x）2在（0，+）上为不单调C. =1在（0，+）上为增函数D当x0时，f（x）=log2
13、x在（0，+）上为减函数故选：C【点评】本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握掌握常见函数的单调性，比较基础9若3sin+cos=0，则的值为（）ABCD2【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用【专题】计算题【分析】首先考虑由3sin+cos=0求的值，可以联想到解sin，cos的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案【解答】解析：由3sin+cos=0cos0且tan=所以故选A【点评】此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛10两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线xy2=0上，
14、则m+n的值是（）A1B2C3D4【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】直线与圆【分析】求出A、B的中点坐标，代入直线方程，求出AB的斜率，推出方程组，求解即可【解答】解：两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线xy2=0上，可得KAB=1，即1=，AB的中点（）在直线上，可得，由可得m=5，n=1；m+n=4故选：D【点评】本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力11动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A（x+3）2+y2=4B（x3）2+y2=1C（2x3）2+4y2=1D（x+3）2+y2=【考点】
15、轨迹方程；中点坐标公式【专题】计算题【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x3，2y），A在圆x2+y2=1上，（2x3）2+（2y）2=1，即（2x3）2+4y2=1故选C【点评】此题是个基础题考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力12已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）A4BC6D2【考点】平面向量数量积的运算【
16、专题】平面向量及应用【分析】利用数量积运算和向量的夹角公式可得=再利用平方关系可得，利用新定义即可得出【解答】解：由题意，则，=6， =2， =2=即，得，由定义知，故选：D【点评】本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设向量等于【考点】平面向量数量积的运算【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用【分析】根据向量共线解出y，代入坐标计算【解答】解：，解得y=43=（1，2）|3|=故答案为【点评】本题考查了平面向量的共线定理和模长计算，属于基础题14某年级120名学生在一次百米测试中，成绩
17、全部介于13秒与18秒之间将测试结果分成5组：13，14），14，15），15，16），16，17），17，18，得到如图所示的频率分布直方图如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在16，18的学生人数是54【考点】频率分布直方图；频率分布表【专题】图表型【分析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3及它们的面积之和为1，做出成绩在16，18的频率，从而得出成绩在16，18的学生人数【解答】解：因从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，且它们的面积之和为1，最后两个小矩形的面积和为1=，即成绩在16，18的频率为，由频率分布直方图知，成绩在
18、16，18的人数为120=54（人）故答案为：54【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算15某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为2，此边上的高为，三棱锥的高为1，根据椎体体积公式计算即可【解答】解：由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为2，此边上的高为，三棱锥的高为1所以V=Sh=故答案为：【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键16曲线与直线y=k（x2）+4有两个交点，则实数k
19、的取值范围为【考点】直线与圆相交的性质【专题】数形结合；转化思想【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围【解答】解：可化为x2+（y1）2=4，y1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y1的部分直线y=k（x2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个且kAP=，由直线与圆相切得d=2，解得k=则实数k的取值范围为故答案为：【点评】本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明
20、过程和演算步骤17一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是1，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片（）若一次抽取3张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率（）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字3的卡片的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】概率与统计【分析】（）先写出三张卡片上的数字全部可能的结果，一一列举出，把满足数字之和大于9的找出来，由此求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率（）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，
21、从前面列举出的结果中找出来，根据互斥事件的概率公式计算即可【解答】解：（）令事件A“三张卡片之和大于9”且从5张卡片中任取三张所有结果共十种：（1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4，）（1，3，5）（1，4，5）（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5）三张卡片之和大于9的概率P（A）=； （）令事件B为“两次抽取至少一次抽到数字3”，则其对立事件 “两次都没抽到数字3”，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片共16种结果：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4），（4，1）（4，
22、2）（4，3）（4，4），P（B）=1P（）=1=，两次抽取至少一次抽到数字3的概率是【点评】本题主要考查古典概型、等可能事件的概率，用列举法计算，可以列举出所有基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题，是这一部分的最主要思想，属于中档题18已知tan，tan是一元二次方程3x2+5x2=0的两根，且（0，），（，），（1）求cos（）的值；（2）求+的值【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】（1）通过方程的根，求出、的正切函数值，利用两角和的正切函数，求出正切函数值，通过角的范围，求cos（）的值；（2）利用（1）的结果求出+的正切函数值，通
23、过角的范围求解角的大小即可【解答】解：（1）一元二次方程3x2+5x2=0的两根为2和，（0，），（，），tan=2，tan=（2分）tan（）=，cos（）=（6分）（2）tan=2，tan=，tan（+）=，（8分）（0，），（，），+（10分），+=（12分）【点评】不考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，注意角的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1，且AA1=AB=2（1）求证：ABBC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角AA1CB的大小【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线
24、之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD平面A1BC，从而ADBC，由线面垂直得AA1BC由此能证明ABBC（2）连接CD，由已知条件得ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，AED即为二面角AA1CB的一个平面角，由此能求出二面角AA1CB的大小【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，（1分）因AA1=AB，则ADA1B（2分）由平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B，（3分）得AD平面A1BC，又BC平面A1BC，所以ADBC（4分）因为三棱柱ABCA1
25、B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC又AA1AD=A，从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则（8分）在等腰直角A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点，且，（9分）过点A作AEA1C于点E，连DE由（1）知AD平面A1BC，则ADA1C，且AEAD=AAED即为二面角AA1CB的一个平面角，（10分）且直角A1AC中：又，且二面角AA1CB为锐二面角，即二面角AA1CB的大小为（14分）【点评】本题考查异面直线垂
26、直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示（）已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10，分别求出m，n的值；（）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率（注：方差，其中为数据x1，x2，xn的平均数）【考点】古典概型及其
27、概率计算公式；极差、方差与标准差【专题】概率与统计【分析】（）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值（）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些（）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率【解答】解：（I）由题意可得 =（7+8+10+12+10+m）=10，解得 m=3再由=（n+9+10+11+12）=10，解得 n=8（）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，= （710）2+（810）2+（1010）2+（1210）2+
28、（1310）2=5.2，= （810）2+（910）2+（1010）2+（1110）2+（1210）2=2，并由=，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些（）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有 （7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、
29、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b17的基本事件个数为255=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为=【点评】本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题21已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值【考点】三角函数中的恒等变换
30、应用；三角函数的周期性及其求法【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）化简函数解析式可得f（x）=sin（2x），由正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）先求2x的范围，可得sin（2x）的取值范围，即可求f（x）的最大值，并求出此时对应的x的值【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x）3分周期T=，因为cosx0，所以x|x+k，kZ5分当2x+2k， +2k，即+kx+k，x+k，kZ时函数f（x）单调递减，所以函数f（x）的单调递减区间为+k， +k，+k， +k，kZ7分（2）当，2x，9分s
31、in（2x）（，1），当x=时取最大值，故当x=时函数f（x）取最大值为112分【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题22已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S（）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（）求S的最大值，并求取得最大值时k的值【考点】直线与圆的位置关系；二次函数的性质【专题】计算题；压轴题【分析】（）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简（）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变【解答】解：（）直线l方程，原点O到l的距离为，弦长，ABO面积|AB|0，1K1（K0），（1k1且K0），（） 令 ，则k2=，S（k）=4=4=4=4=4当t=时，时，Smax=2【点评】本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变，属于中档题