1、2016-2017学年上海二中高三（上）期中数学试卷一、填空题（4*12=48分）1向量=（3，4）与向量=（1，0）的夹角大小为2若cos（）=，则sin2（）=3关于x、y的方程组的增广矩阵经过变换后得到，则=4函数y=2sin（2x）与y轴最近的对称轴方程是5设函数f（x）=，若f（a+1）f（2a1），则实数a的取值范围是6设函数f（x）的定义域为R，且为奇函数，当x0时，f（x）=x2+2x若f（x）在区间1，a2上是单调递增函数，则a的取值范围是7平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，BAD=60，点E，F分别满足=2， =，则=8已知数列an的前n项和Sn满足4an3Sn
2、=2，其中nN*则数列an的通项公式为9若x0，则函数y=x+的最小值为10数列an中，若ai=k2（2ki2k+1，iN*，kN），则满足ai+a2i100的i的最小值为11分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图：易知第三行有白圈5个，黑圈4个我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4）照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为（xn，yn），则=12已知不等式（ax+3）（x2b）0对
3、任意x（，0）恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值的集合为4，10二、选择题（4*6=24分）13已知x，yR，则“x0，y0”是“xy0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件14函数f（x）=|x|+（其中aR）的图象不可能是（）ABCD15在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）Aa=8b=16A=30Ba=25b=30A=150Ca=30b=40A=30Da=72b=60A=13516执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）Ai3Bi4Ci5Di617某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（
4、x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表 月份 用气量煤气费 一月份 4m3 4元 二月份 25m3 14元 三月份35m3 19元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A11.5元B11元C10.5元D10元18在n元数集S=a1，a2，an中，设x（S）=，若S的非空子集A满足x（A）=x（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为fs（k）已知集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，T=4，3，2，1，0，1，2，3，4，则下列说法错误的是（）Afs（9）=fT（1）Bfs（8）=fT（1）Cfs（6）=fT（4
5、）Dfs（5）=fT（4）三、解答题19在ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，已知2sin2=sinA（I）求角A的大小；（II）若=2cosB，求的值20已知函数f（x）=log2（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）求f（x）的反函数f1（x），并求使得函数g（x）=f1（x）log2k有零点的实数k的取值范围21设Sn是等比数列an的前n项和，满足S3，S2，S4成等差数列，已知a1+2a3+a4=4（）求数列an的通项公式；（）设数列bn，满足bn=，nN*，记Tn=b1b2+b2b3+b3b4+bnbn+1，nN*，若对于任意nN*，都有aTnn+4恒成立，
6、求实数a的取值范围22数列an的前n项和为Sn且满足a1=1，2an+1=2an+p（p为常数，n=1，2，3）（1）求Sn；（2）若数列an是等比数列，求实数p的值；（3）是否存在实数p，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由23对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间a，bD和常数C，使得对任意的xa，b都有f（x）=C，且对任意的xa，b都有f（x）C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数（1）求证：函数f（x）=|x1|+|x3|是R上的“U型”函数；（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数
7、，若不等式|t1|+|t2|f（x）对一切的xR恒成立，求实数t的取值范围；（3）若函数g（x）=mx+是区间2，+）上的“U型”函数，求实数m和n的值2016-2017学年上海二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（4*12=48分）1向量=（3，4）与向量=（1，0）的夹角大小为arccos【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知向量的坐标结合数量积求夹角公式得答案【解答】解：向量=（3，4）与向量=（1，0），cos=arccos故答案为：arccos2若cos（）=，则sin2（）=【考点】三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系解答即可【解答】解：c
8、os（）=，cos（）=，sin2（）=1cos2（）=1（）2=故答案是：3关于x、y的方程组的增广矩阵经过变换后得到，则=【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】由题意可知矩阵为，对应的方程组为：，则，代入方程组，即可求得m和n的值，即可求得矩阵的值【解答】解：矩阵为，对应的方程组为：，解得：，由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，解得：，=，故答案为：4函数y=2sin（2x）与y轴最近的对称轴方程是x=【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：对于函数y=2sin（2x），令（kZ ）时，因此，当k=1 时，得到，故直线x=是与y轴最近的对称
9、轴，故答案为：x=5设函数f（x）=，若f（a+1）f（2a1），则实数a的取值范围是（，2【考点】分段函数的应用【分析】根据指数函数和幂函数的性质可得，当x2时，f（x）=2x为增函数，且f（x）f（2）=4，由于当x2时，f（x）=x2为增函数，且f（x）f（2）=4，即可得到f（x）在R上为增函数，问题得以解决【解答】解：由于当x2时，f（x）=2x为增函数，且f（x）f（2）=4由于当x2时，f（x）=x2为增函数，且f（x）f（2）=4，f（x）在R上为增函数，f（a+1）f（2a1），a+12a1，解得a2，故a的取值范围为（，2，故答案为：（，26设函数f（x）的定义域为R，且为
10、奇函数，当x0时，f（x）=x2+2x若f（x）在区间1，a2上是单调递增函数，则a的取值范围是1a3【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】利用函数奇偶性的性质作出对应的图象，利用函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x）的图形关于原点成中心对称，图形如图由图象可知函数f（x）在区间1，1上为单调递增函数，所以，解得1a3故答案为：1a37平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，BAD=60，点E，F分别满足=2， =，则=6【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用平行四边形法则，将分别利用平行四边形的相邻两边表示，然后利用已知计算向量的数量积【解答】
11、解：如图所示，由平行四边形可得：，=34cos120+34cos60=68已知数列an的前n项和Sn满足4an3Sn=2，其中nN*则数列an的通项公式为an=24n1【考点】数列递推式【分析】4an3Sn=2，当n2时，4an13Sn1=2，两式相减可得：4an4an13an=0，an=4an1，当n=1时，4a13S1=2，解得：a1=2，数列an是2为首项，公比为4的等比数列，根据等比数列的通项公式即可求得数列an的通项公式【解答】解：由4an3Sn=2，当n2时，4an13Sn1=2，4an4an13（SnSn1）=0，即4an4an13an=0，整理得：an=4an1，当n=1时，4
12、a13S1=2，解得：a1=2，由a1=2，得an0，=4，其中n2故数列an是2为首项，公比为4的等比数列，由等比数列的通项公式：an=a1qn1=24n1，故答案为：an=24n19若x0，则函数y=x+的最小值为【考点】基本不等式【分析】构造思想，函数y=x+变形为y=（x+）+（），利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x0，函数y=x+=（x+）+（）2=，当且仅当x=时取等号函数y=x+的最小值为故答案为：10数列an中，若ai=k2（2ki2k+1，iN*，kN），则满足ai+a2i100的i的最小值为128【考点】数列的应用【分析】由题意可得ai+a2i=k2+（k+1）21
13、00，从而解得【解答】解：ai=k2（iN*，2ki2k+1，k=1，2，3，），ai+a2i=k2+（k+1）2100，故k7；故i的最小值为27=128，故答案为：12811分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图：易知第三行有白圈5个，黑圈4个我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4）照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为（xn，yn），则=1【考点】归纳推理【分析】根据图甲所示
14、的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，根据第三行的数据可求出第四行的“坐标”；再根据前五行的白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，可归纳第n行的白圈数，黑圈数，即可得出结论【解答】解：根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），第四行的白圈数为25+4=14；黑圈数为5+24=13，第四行的“坐标”为（14，13）；第五行的“坐标”为（41，40），各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，8
15、2，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，第n行的白圈数为，黑圈数为为1=，=1故答案为：112已知不等式（ax+3）（x2b）0对任意x（，0）恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值的集合为4，10【考点】一元二次不等式的解法【分析】对b分类讨论，当b0 时，由（ax+3）（x2b）0得到ax+30，由一次函数的图象知不存在；当b0 时，由（ax+3）（x2b）0，利用数学结合的思想得出a，b的整数解【解答】解：当b0 时，由（ax+3）（x2b）0得到ax+30 在x（，0）上恒成立，则a不存在；当b0 时，由（ax+3）（x2b）0，可设f（x）=ax+3，g（x）=x2b，又
16、g（x） 的大致图象如下，那么由题意可知：再由a，b 是整数得到或因此a+b=10或4 故答案为4，10二、选择题（4*6=24分）13已知x，yR，则“x0，y0”是“xy0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可【解答】解：由xy9，解得：x0，y0或x0，y0，故“x0，y0”是“xy0”的充分不必要条件，故选：A14函数f（x）=|x|+（其中aR）的图象不可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断【解
17、答】解：当a=0时，f（x）=|x|，且x0，故A符合，当x0时，且a0时，f（x）=x+2，当x0时，且a0时，f（x）=x+在（，0）上为减函数，故B符合，当x0时，且a0时，f（x）=x+2=2，当x0时，且a0时，f（x）=x+在（0，+）上为增函数，故D符合，故选：C15在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）Aa=8b=16A=30Ba=25b=30A=150Ca=30b=40A=30Da=72b=60A=135【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得，根据条件求得sinB的值，根据b与a 的大小判断角B的大小，从而判断三角形ABC 的解的个数【解答】解：由正
18、弦定理可得，若A成立，a=8，b=16，A=30，有 =，sinB=1，B=90，故三角形ABC有唯一解若B成立，a=25，b=30，A=150，有 =，sinB=，又ba，故 B150，故三角形ABC无解若C成立，a=30，b=40，A=30，有 =，sinB=，又ba，故 BA，故B可以是锐角，也可以是钝角，故三角形ABC有两个解若D 成立，a=72，b=60，A=135，有 =，sinB=，由于BA，故B为锐角，故三角形ABC有唯一解故选C16执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）Ai3Bi4Ci5Di6【考点】程序框图【分析】根据程序框图，模拟运行过程，
19、根据程序输出的S值，即可得出判断框内应填入的条件【解答】解：进行循环前i=2，S=1，计算S=，应满足循环条件，i=3；执行循环后S=，应满足循环条件，i=4；执行循环后S=，应满足循环条件，i=5；执行循环后S=，应不满足条件循环条件，输出S=；故判断框内应填入的条件是i5；故选：C17某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表 月份 用气量煤气费 一月份 4m3 4元 二月份 25m3 14元 三月份35m3 19元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A11.5元B11元C10.5元D10元【考点】函数的值【分
20、析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（xA），得：，解得，f（x）=，故x=20时：f（20）=11.5，故选：A18在n元数集S=a1，a2，an中，设x（S）=，若S的非空子集A满足x（A）=x（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为fs（k）已知集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，T=4，3，2，1，0，1，2，3，4，则下列说法错误的是（）Afs（9）=fT（1）Bfs（8）=fT（1）Cfs（6）=fT（4）
21、Dfs（5）=fT（4）【考点】集合的表示法【分析】根据新定义求出k元平均子集的个数，逐一判断【解答】解：X（S）=5，将S中的元素分成5组（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）则fS（1）=1，fS（2）=4，fS（3）=4，fS（4）=6，fS（5）=6，同理：X（T）=0，将T中的元素分成5组（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（0）则fT（1）=1，fT（2）=4，fT（3）=4，fT（4）=6，fT（5）=6，fT（8）=1，fS（4）=fS（5）=fT（4）=6故选：D三、解答题19在ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，已知2sin2=
22、sinA（I）求角A的大小；（II）若=2cosB，求的值【考点】余弦定理【分析】（I）由已知利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，结合sin0，可求tan=，由A的范围可求A的值（II）由已知利用余弦定理可得b=c，结合A=，利用正弦定理可求的值【解答】（本题满分为14分）解：（I）2sin2=sinA=2sincos，又0A，可得：0，故sin0，故sin=cos，tan=，A=7分（II）由=2cosB，得=2，化简得b=c，10分故在ABC中，A=，b=c，由此可得=14分20已知函数f（x）=log2（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）求f（x）的反函数f1（x
23、），并求使得函数g（x）=f1（x）log2k有零点的实数k的取值范围【考点】函数奇偶性的判断；反函数；函数的零点【分析】对（1）先求函数的定义域，再利用奇、偶函数的定义证明即可对（2）先求出反函数，再求反函数的值域，然后利用函数思想分析求K的取值范围【解答】解：（1）f（x）的定义域为：（，1）（1，+）f（x）=f（x），f（x）为奇函数（2）由y=，得x=，f1（x）=，x0函数g（x）=f1（x）log2K有零点，log2k=1+（，1）（1，+）k（2，+）（0，）k的取值范围是（2，+）（0，）21设Sn是等比数列an的前n项和，满足S3，S2，S4成等差数列，已知a1+2a3+a
24、4=4（）求数列an的通项公式；（）设数列bn，满足bn=，nN*，记Tn=b1b2+b2b3+b3b4+bnbn+1，nN*，若对于任意nN*，都有aTnn+4恒成立，求实数a的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）由S3+S4=2S2，得S3S2+S4S2=0，解得q=2，由a1+a4=42a3，得a1=4由此能求出数列an的通项公式（II）由，得，由个利用裂项求和法求出Tn=，从而得到恒成立，设，由函数的单调性能求出实数a的取值范围【解答】解：（I）设数列an的公比为q，由S3+S4=2S2，得S3S2+S4S2=0，即有a3+a4+a3=0，得q=2又a1+a4=42a3
25、，则，得a1=4故（II）由（I）知，则依题意有对于任意的正整数n恒成立，即恒成立设，由于在区间上为减函数，在区间上为增函数，而，则，故有，即有所以实数a的取值范围为22数列an的前n项和为Sn且满足a1=1，2an+1=2an+p（p为常数，n=1，2，3）（1）求Sn；（2）若数列an是等比数列，求实数p的值；（3）是否存在实数p，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由【考点】数列递推式【分析】（1）由2an+1=2an+p，得an+1an=，可知数列an是以a1=1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的前
26、n项和得答案；（2）由数列an是等比数列，得结合已知求出a2，a3，代入可得p；（3）当p=0时，由（1）及a1=1，得（n=1，2，3，），即数列是一个无穷等差数列当p=0，满足题意当p0时，利用反证法证明，从数列不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列【解答】解：（1）由2an+1=2an+p，得an+1an=数列an是以a1=1为首项，以为公差的等差数列，则；（2）若数列an是等比数列，则a1=1，2an+1=2an+p，2a2=2a1+p=2+p，2a3=2a2+p=2+2p，得p=0；（3）当p=0时，由（1）及a1=1，得（n=1，2，3，），即数列是一个无穷等差数列当p
27、=0，满足题意当p0时，a1=1，2an+1=2an+p，即an+1an=下面用反证法证明，当p0，从数列不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列假设存在p00，从数列可以取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列不妨记为bn，设数列bn的公差为d（1）当p00时，an0（n=1，2，3，），数列bn是各项为正数的递减数列，则d0bn=b1+（n1）d，当n1，即n1，即（n1）db1时，bn=b1+（n1）db1b1=0，这与bn0矛盾（2）当p00时，令，解得n，当时，an0恒成立，数列bn是各项为负数的递增数列，则d0bn=b1+（n1）d，bn=b1+（n1）d，与bn0
28、矛盾综上所述，p=0是唯一满足条件的p的值23对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间a，bD和常数C，使得对任意的xa，b都有f（x）=C，且对任意的xa，b都有f（x）C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数（1）求证：函数f（x）=|x1|+|x3|是R上的“U型”函数；（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t1|+|t2|f（x）对一切的xR恒成立，求实数t的取值范围；（3）若函数g（x）=mx+是区间2，+）上的“U型”函数，求实数m和n的值【考点】函数恒成立问题【分析】（1）对于函数f1（x）=|x1|+|x3|，欲判断其是否是“U型”函数，只须f1（x
29、）=2是否恒成立，利用去绝对值符号后即可证得；（2）不等式|t1|+|t2|f（x）对一切xR恒成立，等价于|t1|+|t2|f（x）min，等价于|t1|+|t2|2，从而可求实数t的取值范围；（3）函数g（x）=mx+是区间2，+）上的“U型”函数，等价于x2+2x+n=m2x22cmx+c2对任意的xa，b成立，利用恒等关系，可得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间2，+）上的“U型”函数即可解决问题【解答】解：（1）当x1，3时，f1（x）=x1+3x=2，当x1，3时，f1（x）=|x1|+|x3|x1+3x|=2故存在闭区间a，b=1，3R和常数C=2符
30、合条件，所以函数f1（x）=|x1|+|x3|是R上的“U型”函数（2）因为不等式|t1|+|t2|f（x）对一切xR恒成立，所以|t1|+|t2|f（x）min由（1）可知f（x）min=（|x1|+|x3|）min=2所以|t1|+|t2|2解得：（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间a，b2，+）和常数c，使得对任意的xa，b，都有g（x）=mx+=c，即=cmx所以x2+2x+n=（cmx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x22cmx+c2对任意的xa，b成立所以，所以或当时，g（x）=x+|x+1|当x2，1时，g（x）=1，当x（1，+）时，g（x）=2x+11恒成立此时，g（x）是区间2，+）上的“U型”函数当时，g（x）=x+|x+1|当x2，1时，g（x）=2x11，当x（1，+）时，g（x）=1此时，g（x）不是区间2，+）上的“U型”函数综上分析，m=1，n=1为所求2017年1月17日
