1、第二节 数系的扩充与复数的引入【高考目标定位】一、考纲点击1、理解复数的基本概念；2、理解复数相等的充要条件；3、了解复数的代数表示法及其几何意义；4、会进行复数代数形式的四则运算；5、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。二、热点提示1、复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题；2、复数的代数运算是高考的另一热点点，以选择题、填空题的形式的出现，属容易题。【考纲知识梳理】1、复数的有关概念（1）复数的概念形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。若b=0,则a+bi为实数，若b0,则a+bi为虚数，若a=0且b0，则a+
2、bi为纯虚数。（2）复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR).（3）共轭复数：a+bi与c+di共轭a=c，b=-d(a,b,c,dR).。（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。X轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。（5）复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记叙|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=。2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi复平面内的点Z（a,b）(a,bR);（2）复数z=a+bi平面向量（a,bR）。3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则
3、设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则加法：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i;减法：z1- z2=（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i;乘法：z1 z2=( a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;除法：(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何、C，有+=+，（+）+=+（+）。注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。【热点难点精析】一、复数的有关概念及复数的几何意义相关链接1、复数的分类2、处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部（若复数为非标
4、准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式），然后根据定义解题。例题解析例当实数m为何值时，z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1) 纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。思路解析：根据复数分类的条件和复数的几何意义求解。解答：根据复数的有关概念，转化为实部和虚部分别满足的条件求解。（1）若z为纯虚数，则解得m=3（2）若z为实数，则解得m=-1或m=-2（3）若z的对应点在第二象限，则解得-1m1-或1+m3.即（1）m=3时，z为纯虚数；（2）m=-1或m=-2时，z为实数；（3）-1m1-或1+m3时，z的对应点在第二象限内。二、复数相等相关链接1、a
5、+bi=c+di.2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,bR)。例题解析例已知集合M=（a+3）+（b2-1）i,8,集合N=3，（a2-1）+(b+2)同时满足MNM，MN，求整数a,b思路解析：判断两集合元素的关系列方程组分别解方程组检验结果是否符合条件。解答：或或由得a=-3,b=2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。a=-3，b=2由得a=3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，a=3,b=-2;由得,此方程组无整数解。综合得a=-3，b=2或a=3,b=-2
6、。三、复数的代数运算相关链接1、在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度：（1）（4）（5）（6）2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。例题解析例解答： 四、复数加减法的几何意义例如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3+2i，-2+4i，试求：（1）表示的复数，表示的复数；（2）对角线所表示的复数。思路解析：求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应的复数即可。解答：（1）=-，表示的复数为-3-2
7、i.=,所表示的复数为-3-2i。（2）=-，所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.注：解决这类题目是利用复数a+bi(a,bR)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解。复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z=x+yi,依据是复数相等的充要条件。【感悟高考真题】1.（2010湖南文数）1. 复数等于A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i解：A2.（2010浙江理数）（5）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（A） （B）（C） （D）解析
8、：可对选项逐个检查，A项，故A错，B项，故B错，C项，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题3.（2010全国卷2理数）（1）复数（A） （B） （C） （D）【答案】A 【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】.4. （2010北京理数）（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。答案：（-1,1） 5.（2010江苏卷）2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_.解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。6.（2010湖北理数）1若i为虚数单位，图中
9、复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是AE B.F C.G D.H 【答案】D【解析】观察图形可知,则，即对应点H（2，1），故D正确.7.（2010上海文数）4.若复数（为虚数单位），则 。解析：考查复数基本运算8.（2010重庆理数）（11）已知复数z=1+I ，则=_.解析：【考点精题精练】一、选择题1、（广东佛山一中2010届高三模拟（理）复数（）在复平面上所对应的点在第二象限上，则的取值范围是 （ B ）A. B. C. D. 2、（广西桂林十八中2010届高三月考）设是虚数单位，若，则的值是（D）A、-1 B、1 C、 D、3、（河南省许昌平顶山2010届高三调研）复数（）9的值
10、等于（D）A B个 C I Di4、（黑龙江庆安三中2010届高三10月月考）复数等于（ C ）. A. B. C. D. 5、（广东深圳深圳高中09-10学年高二期末（文）( C )A B C D6、（湖南省长郡中学0910学年高二期末（文）下列各数中，纯虚数的个数有（ C ）个。，A0个 B1个 C2个 D3个7、（浙江省桐乡高中0910学年高二期中考试（文）复数的共轭复数是(D)A. B. C. D. 8、（河南南召二高0910学年高二期末模拟）复数对应的点在第三象限，则的取值范围是(B) A B C D9、（2010届山东烟台开发区高三月考(文)）复数，则复数在复平面内对应的点位于(A
11、) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限10、（2010届辽宁锦州高三期末考试（理）如果复数为纯虚数，则实数的值为（A）（A）（B）（C）（D）或11、（2010届浙江春浑中学高三1月月考）设复数，若为实数，则x=（ A ）A2B1C1D212、（黑龙江省双鸭山一中2010届高三期中考试（文）已知为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于（ D ）。（A）第一象限 （）第二象限 （）第三象限 （）第四象限二、填空题1、（浙江省桐乡高中0910学年高二期中考试（文）已知复数的实部为，虚部为2，则= 。2、（上海宝山区2010届高三上期末）若复数对应的点在第四象限，则实数t的取值范围是 3、（上海宝山区2010届高三上期末）已知 是一元二次方程的一个根，则实数t=_13_4、（2009金陵中学三模）已知复数，它们所对应的点分别为A，B，C若，则的值是 5 三、解答题1、（广东深圳高中09-10学年高二期末）已知复数(1)求； （2）当时，求a的取值范围.解答：（1）（2） 2、已知复数满足为虚数单位），求一个以为根的实系数一元二次方程. 解答：方法一 。 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是。方法二 设 ， 得 ， 以下解法同方法一. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m