1、第三节圆的方程课标要求考情分析1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2初步了解用代数方法处理几何问题的思想1.圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考命题方向方向的热点2常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查3题型以选择题、填空题为主，有时也会以解答题的形式出现. 知识点一圆的定义及方程1.如果没给出r0，则圆的半径为|r|.2当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示一个点；当D2E24Fr2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)20.()(4)已知点A(x1，y1)，B
2、(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()解析：(1)t0时，方程表示圆心为(a，b)，半径为|t|的圆(2)a2(2a)24(2a2a1)0，即2a，即xyDx0Ey0F0.(4)设M(x，y)是圆上异于直径端点A，B的点，由1得(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.2小题热身(1)圆x2y24x6y0的圆心坐标是(D)A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)(2)方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是(A)A. B.C. D.(3)以线段AB：xy20(0x2)为直径的圆的方程为(B)A(x1)2(y1)22B(x
3、1)2(y1)22C(x1)2(y1)28D(x1)2(y1)28(4)若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是(1,1)(5)过点A(0,1)和B(1,2)，且与x轴相切的圆的方程为(x1)2(y1)21或(x3)2(y5)225.解析：(1)圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)(2)由题114m0，所以m.故选A.(3)线段AB：xy20(0x2)的两个端点为(0，2)，(2,0)，圆心为(1，1)半径为，圆的方程为(x1)2(y1)22.(4)由条件知(1a)2(1a)24，即22a24.a21.即1a0)，则由题意，得解得因此圆的
4、方程是(x1)2(y1)24，故选C.方法2：AB的中垂线方程为yx，所以由得圆心为(1,1)，所以半径为2，因此圆的方程是(x1)2(y1)24，故选C.(2)设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.令y0得x2DxF0，所以圆在x轴上的截距之和为x1x2D.令x0，得y2EyF0，所以圆在y轴上的截距之和为y1y2E.由题设x1x2y1y2(DE)2，即DE2.因为A(4,2)，B(1,3)在圆上，所以1644D2EF0，19D3EF0，由解得D2，E0，F12，故所求圆的方程为x2y22x120.【答案】(1)C(2)x2y22x120方法技巧求圆的方程一般有两种常用方法：(1)几何法，通
5、过研究圆的几何性质，确定圆心坐标与半径长，即得到圆的方程；(2)代数法，用待定系数法求解，其关键是根据条件选择圆的方程，若已知圆上三点，则选用圆的一般方程，若已知条件与圆心及半径有关，则选用圆的标准方程.1(2019浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m2，r.解析：解法1：设过点A(2，1)且与直线2xy30垂直的直线方程为l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以l：x2y40.令x0，得m2，则r.解法2：因为直线2xy30与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(2，1)，所以21，所以m2，r.2已知圆C经过P(2,4
6、)，Q(3，1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.解析：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，得D24F36，联立，解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.考点二与圆有关的最值问题命题方向1利用几何关系求最值【例2】直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3【解析】圆心(2,0)
7、到直线的距离d2，所以点P到直线的距离d1，3根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面积S|AB|d1d1.因为d1，3，所以S2,6，即ABP面积的取值范围是2,6【答案】A命题方向2 利用函数关系求最值【例3】(1)若点P为圆x2y21上的一个动点，点A(1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|PB|的最大值为()A2B2C4D4(2)已知圆C的方程为x22xy20，直线l：kxy22k0与圆C交于A，B两点，则当ABC面积最大时，直线l的斜率k()A1 B6 C1或7 D2或6【解析】(1)易得|PA|2|PB|24，由基本不
8、等式得22，所以|PA|PB|2.(2)圆C的标准方程为(x1)2y21，圆心为C(1,0)，半径r1.直线l变形为yk(x2)2，过定点(2,2)，记ACB，由面积公式，得Sr2sinsin，当时，ABC面积最大，此时，点C到直线l距离为d，解得k1或7.【答案】(1)B(2)C方法技巧(1)利用几何关系求最值,一般根据距离、斜率等知识的几何意义，结合圆的几何性质数形结合求解.(2)建立函数关系式求最值,根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.1(方向1)圆x2y24x4y60上的点到直线xy80的最大距离与最小距离分别是(B)A2， B3
9、，C4,2 D4，2解析：圆x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22，圆心为(2,2)，半径r.圆心到直线的距离d2，圆x2y24x4y60上的点到直线xy80的最大距离与最小距离分别是dr3，dr，故选B.2(方向1)已知点P为直线yx1上的一点，M，N分别为圆C1：(x4)2(y1)24与圆C2：x2(y2)2上的点，则|PM|PN|的最大值为(C)A4 B. C. D7解析：设C2(0,2)关于直线yx1的对称点为C(m，n)，则解得C(1,1)由对称性可得|PC|PC2|，则|PC1|PC2|PC1|PC|C1C|3，由于|PM|PC1|2，|PN|PC2|，|PM|PN|PC1
10、|PC2|，即|PM|PN|的最大值为，故选C.3(方向2)若直线axby10(a0，b0)把圆(x4)2(y1)216分成面积相等的两部分，则的最小值为(B)A10 B8 C5 D4解析：因为圆(x4)2(y1)216的圆心坐标为(4，1)，直线axby10把圆分成面积相等的两部分，所以该直线过点(4，1)，4ab10，即4ab1，(4ab)4428，当且仅当a，b时取“”考点三与圆有关的轨迹问题【例4】古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数(0，1)的点M的轨迹是圆若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|2|MB|，则M点
11、的轨迹围成区域的面积为()A B2 C3 D4【解析】以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)设M(x，y)，依题意有，2，化简整理得，x2y28x120，即(x4)2y24，圆的面积为4.故选D.【答案】D方法技巧求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.1自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(D)A8x6y210 B8x6y210C6x8y210 D6x8y210解析：由题意得|PO|，所以(x3)2(y4)24x2y2，即6x8y210，故选D.2已知点A(1,0)和圆C：x2y24上一点P，动点Q满足2，则点Q的轨迹方程为(D)A.2y21 Bx221Cx221 D.2y21解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)，由2，得x02x3，y02y，代入圆的方程，得2y21.