1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。2.8直线与圆锥曲线的位置关系关键能力合作学习类型一直线与圆锥曲线的位置关系(逻辑推理)1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是()A B2，2C1，1 D4，4【解析】选C.由已知，得直线l的方程为yk(x2)，与抛物线方程联立方程组，整理得ky28y16k0.当k0时，直线与抛物线有一个交点当k0时，由6464k20，解得1k1，所以1k1，且k0.综上得1k1.2已知双曲线C：x21，过点P(1，2)的直
2、线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A1条 B2条C3条 D4条【解析】选B.因为双曲线的渐近线方程为y2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(1，0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条3若椭圆y2a2(a0)与连接两点A(1，2)，B(3，4)的线段有公共点，则实数a的取值范围为_【解析】若椭圆y2a2(a0)和连接两点A(1，2)，B(3，4)的线段没有公共点，所以A，B都在椭圆内或A，B都在椭圆外，当点A，B都在椭圆内时，解得a；当点A，B都在椭圆外时，解得0a.所以实数a的
3、取值范围是.所以当椭圆与线段AB有公共点时实数a的取值范围是.答案：关于直线与圆锥曲线的交点个数判断(1)代数法：直线与圆锥曲线的方程联立、消元，如果得到的是一元二次方程，则利用判断方程根的个数，即直线与圆锥曲线交点的个数；如果得到的是一元一次方程，则表示直线与双曲线的渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，此时直线与圆锥曲线有一个交点(2)几何法：一般适用直线与双曲线的位置关系，可以判断直线的斜率与渐近线斜率的大小，结合图象可以判断直线与双曲线的交点个数类型二直线与圆锥曲线相切问题(逻辑推理、数学运算)【典例】设点M是椭圆C：1(ab0)上一动点，椭圆的长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的
4、方程；(2)求点M到直线l1：xy50距离的最大值及此时点M的坐标【思路导引】(1)利用长轴长、离心率求a，c，再求出b.(2)利用与直线l1平行且与椭圆相切的直线求最大值【解析】(1)由题意可知2a4，则a2，离心率e，则c2，b2a2c24，所以椭圆的标准方程为1.(2)由直线l1的方程与椭圆的方程可以设为，直线l1与椭圆不相交，设直线m平行于直线l1，则直线m的方程可以设为xyk0，由方程组消去y，得4x26kx3k2120，令方程的根的判别式0，得36k244(3k212)0，解方程得k14或k24，由图可知，当k4时，直线m与椭圆的交点到直线l1的距离最远，此时直线m的方程为xy40
5、，直线m与直线l1的距离d，所以点M到直线l1：xy50距离的最大值为.此时由方程4x26kx3k2120，即x26x90，解得x3，所以y1.故点M的坐标是.关于直线与圆锥曲线相切的问题(1)直线与圆锥曲线相切与直线与圆锥曲线有一个交点不同，相切是当两个交点重合为一个交点时的情况，而相交于一个交点则是与渐近线、抛物线的对称轴平行时的情况；(2)利用直线与圆锥曲线相切可以求参数的范围、解决距离的最值问题等设双曲线的方程为x21.设l是经过点M(1，1)的直线，且和有且仅有一个公共点，求l的方程【解析】(1)当直线l斜率不存在时，方程为x1，显然与双曲线相切，只有一个交点，符合题意，(2)当直线
6、l的斜率存在且与双曲线相切时，设斜率为k，则直线l的方程为y1k(x1)，即ykxk1，联立方程消去y得：(4k2)x22k(1k)x(1k)240，因为直线l和双曲线有且仅有一个公共点，所以4k2(1k)24(4k2)(1k)240，化简得：8032k0，所以k，所以直线l的方程为：yx，即5x2y30.(3)当直线l与双曲线的渐近线平行时，也与双曲线有且仅有一个公共点，因为双曲线的渐近线方程为：y2x，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y12(x1)或y12(x1)，即2xy10或2xy30，综上所述，直线l的方程为x1或5x2y30或2xy10或2xy30.类型三直线与圆锥曲线的弦
7、长问题(逻辑推理)角度1求弦长【典例】(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程(2)若3，求|AB|.【解析】设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.角度2中点弦问题【典例】已知P(1，1)为椭圆1内一
8、定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_【解析】方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，所以x1x2，又因为x1x22，所以2，解得k.故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得0，因为x1x22，y1y22，所以y1y20，所以k，经检验k满足题意所以此弦所在的直线方
9、程为y1(x1)，即x2y30.答案：x2y30本例若变为：椭圆与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，则椭圆的方程为_【解析】设椭圆的方程为ax2by21(a0，b0，且ab)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，koc，代入上式可得ba.由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故44，将ba代入得a，所以b.所以椭圆方程是1.答案：11直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解
10、题(客观题常用)(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长(不常用)(3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系(常用方法)2中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系法：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解1斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最
11、大值为()A2 B C D【解析】选C.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.所以|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.2已知(4，2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_【解析】设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2).则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.答案：x2y803已知点Q是抛物线C1：y22px(p0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y2x2相切的两条直线分别交抛物线C1
12、于点A，B.若点Q的坐标为(1，6)，求直线AB的方程及弦AB的长【解析】由Q(1，6)在抛物线y22px上，可得p18，所以抛物线C1的方程为y236x.设抛物线C2的切线方程为y6k(x1).联立消去y，得2x2kxk60，k28k48.由于直线与抛物线C2相切，故0，解得k4或k12.由得A；由得B.所以直线AB的方程为12x2y90，弦AB的长为2.课堂检测素养达标1直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1 B2 C1或2 D0【解析】选A.因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点2过抛物线y24x的焦点作倾斜角为135的弦AB，则AB的长度是()A4 B4
13、C8 D8【解析】选C.抛物线的焦点为(1，0)，则弦AB所在的直线方程为yx1，代入抛物线方程，得x26x10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，x1x21，由弦长公式，得|AB|8.3(教材练习改编)直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于()A2或2 B1C2 D3【解析】选C.由得k2x24(k2)x40，则4，解得k2(k1舍去).4已知直线y与椭圆1(ab0)交于B，C两点，且以BC为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点F，则该椭圆的离心率是_【解析】将y代入椭圆方程1(ab0).所以x2，圆的半径为r，则r2，由题意可知，c2r2，由b2a2c2，代入整理得：7a28c2，所以e.答案：关闭Word文档返回原板块