1、天津市和平区耀华中学2020届高三数学二模试题（含解析）一、选择题1.已知集合则=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为集合B中，xA，所以当x1时，y321；当x2时，y3224；当x3时，y3327；当x4时，y34210.即B1,4,7,10又因为A1,2,3,4，所以AB1,4故选D.2.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，判断与0的关系，即可得出答案.【详解】，；故选：C.【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，比较大小等基本知识与技能，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于基础题.3.已知双曲线的右焦
2、点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径，由此可得答案.【详解】解：由得，所以，因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径，故选：B【点睛】此题考查双曲线和抛物线，考查双曲线的通径，属于基础题.4.在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由余弦定理得.由正弦定理得，解得.考点：解三角形.5.已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（
3、 ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】在A中，a与b可以成任意角；在B中a与b是平行的；在C中，可得，从而得到；在D中，可得a与b可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，在A中，因为的方向不确定，则a与b可以成任意角，故A错误；在B中，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，故B错误；在C中，由，可知，由线面垂直的性质可知，故C正确；在D中，可得a与b可以成任意角，故D错误故选：C【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目6.在由
4、0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有()A. 512个B. 192个C. 240个D. 108个【答案】D【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D考点：排列组合7.函数，其中，则下列结论中正确的是（ ）A. 是最小正周期为的偶函数B. 的一条对称轴是C. 的最大值为2D. 将的图象向左平移个长度单位
5、得到的图象【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换公式得，根据说明不正确，根据说明不正确，根据的最大值为说明不正确，根据三角函数的平移变换的结论说明正确.【详解】因为，对于，因为，所以不是偶函数，故不正确；对于，因为，所以不正确；对于，最大值为，故不正确；对于，将的图象向左平移个长度单位得到的图象.故正确.故选：D.【点睛】本题考查了三角恒等变换公式，考查了三角函数的奇偶性、对称轴、最值，考查了三角函数的平移变换，属于基础题.8.函数在区间（，）内的图象是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=分段画出函数图象如D图示，故选D9
6、.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】转化为与函数的图象恰有三个交点，再利用图象可得结果.【详解】因为函数恰有三个零点，所以方程恰有三个实根，所以与函数的图象恰有三个交点，作出函数图象，如图：当直线与相切时，即只有一个根，所以，得或（舍去），此时两个函数的图象有2个交点，当直线与相切时，即只有一个实根，所以，得，此时两个函数的图象有2各交点，当直线经过原点时，此时两个函数的图象有3个交点，观察图象可知，或.故选：A.【点睛】本题考查了函数的零点，考查了数形结合思想，考查了函数图象的应用，属于中档题.二、填空题10.是虚数单位，
7、若复数是纯虚数，则实数的值为 .【答案】【解析】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.11.的展开式中x7的系数为_.（用数字作答）【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，得，所以展开式中的系数为故答案为【考点】二项式定理【名师点睛】求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项有理项是字母指数为整数的项解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整
8、除性来求解12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体.如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体如图所示，余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为2，则这个半正多面体的体积为_.【答案】【解析】【分析】设原正四面体为，可知其棱长为，再求出，的长度，在中，求出正四面体的高，根据锥体体积公式求出原正四面体为的体积；同理可求出从原几何体中割去的其中一个小正四面体的体积，再根据，即可求出这个半正多面体的体积.【详解】设原正四面体为，如下图所示：由题意可知，正四面体的棱长，设为底面的中心，是边中点，则正四面体的高，则所以在
9、中，所以原正四面体为的体积为；设从原几何体中割去的其中一个小正四面体为，如下图所示：则小正四面体的棱长，设为底面的中心，是边中点，则小正四面体的高，则所以在中，所以小正四面体为的体积为；所以从原几何体中割去四个小正四面体体积为，所以这个半正多面体的体积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查多面体的外接球的体积求法，属于中档题.13.求圆心在直线上，且过点，的圆的标准方程【答案】【解析】试题分析：根据圆中的弦的垂直平分线过圆心求出弦AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可求出圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆的半径，即可写出圆的标准方程试题解析：，中点，中垂线，整理得，联立，解出，圆心为，半径
10、为，圆为14.梯形中，若为线段上的一点，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由于，且不共线，所以将作为基底，由为线段上的一点，可设，然后把向量分别用基底表示出来，化简可求得其最大值【详解】解：由为线段上的一点，设，因为，所以，所以,因为，所以,，因为，所以的最大值为，故答案为：【点睛】此题考平面向量基本定理的应用，正确的选择基底是解此题的关键，属于中档题.15.若且，则的最小值为_【答案】【解析】因为，所以 ；因为，所以 ，即 因此 当且仅当 时取等号三、解答题16.在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户
11、村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标，将指标按照，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.（1）为了更好的了解和帮助该村的这些贫困户，决定用分层抽样的方法从这100户中随机抽取20户进行更深入的调查，求应该抽取“绝对贫困户”的户数；（2）从这20户中任取3户，求“绝对贫困户”多于“相对贫困户”的概率；（3）现在从（1）中所抽取的“绝对贫困户”中任取3户，用表示所选3户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）6户，（2），（3）分布列
12、见解析，.【解析】【分析】（1）根据频数=样本容量频率，可得结果；（2）根据古典概型的概率公式可得结果；（3）的所有可能的取值为0，1，2，3，根据古典概型概率公式求出的各个取值的概率可得分布列，根据数学期望公式可得数学期望的值.【详解】（1）由直方图可知，“绝对贫困户”的频率为，所以应该抽取“绝对贫困户”的户数为户.（2）这20户中，“绝对贫困户”的户数为6户，“相对贫困户”的户数为14户，所以“绝对贫困户”多于“相对贫困户”的概率为. （3）从（1）中所抽取的“绝对贫困户”中，“亟待帮助户”的户数为3户，所以的所有可能的取值为0，1，2，3.，所以的分布列为：0123.【点睛】本题考查了分
13、层抽样，考查了古典概型的概率公式，考查了随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.17.数列是等差数列，为其前项和，且，数列前项和为，且满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式求出，利用递推关系可得数列为等比数列，再代入通项公式，即可得到答案；（2）由（1）得，再利用错位相减法求和，即可得到答案；【详解】（1）；，两式相减得：，；（2）由（1）得，两式相减得：，.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式、错位相减法求和，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18.如
14、图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明，；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值【详解】依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，由点为棱的中点，得（1）向量，故 （2）向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量于是有，直线与平面所成角的正弦值为（3）， 由点在棱上，故，由，得
15、，解得，即设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则易知，二面角是锐角，其余弦值为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点、右顶点分别为F，A，过原点的直线与椭圆C交于点P、Q（点P在第一象限内），连结PA，QF若，的面积是面积的3倍（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知M为
16、线段PA的中点，连结QA，QM求证：Q，F，M三点共线；记直线QP，QM，QA的斜率分别为，若，求的面积【答案】（1）（2）见解析4【解析】【分析】(1)根据可得,又的面积是面积的3倍,所以,再联立求解基本量即可.(2) 设,再表示出,关于表达式,化简证明即可.(3)由 可得,代入椭圆可得,进而求出【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为,所以.设,则的面积为.过原点的直线与椭圆C交于点P,Q,所以,故的面积为.因为的面积是面积的3倍,所以,解得,所以椭圆C的标准方程为.（2）因为,所以.因为,所以,故Q,F,M三点共线.因为,且,所以化简得,解得或（舍去）,代入中,得因为点P在第一象限内,所
17、以,故.因为M为线段PA的中点,所以.因为O为线段PQ的中点,所以,故.【点睛】本题主要考查了椭圆中利用坐标法解决三点共线以及斜率的问题,需要根据题意设点的坐标,再表达出斜率与面积公式等.属于中档题.20.已知函数，（1）求在点P(1，)处的切线方程；（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；（3）若存在两个正实数，满足，求证：【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】分析】（1）求出P（1，0），x0，f（1）=1，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程（2）求出，x0，则f（x）=0，得x=e，列表讨论能求出实数t的取值范围（3）h（x）=
18、x22x+4lnx，从而（x1+x2）22（x1+x2）4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t4lnt，（t0），（11分）则=2t+2=，由此利用导数性质能证明x1+x23【详解】（1），所以点坐标为； 又，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为 （2） 正0负单调增极大值单调减由， 得；时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；时，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，因为在递增，在递减；所以， 即，即；所以实数的取值范围为 （3），因为，所以，即，令， 则，当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增所以函数在时，取得最小值，最小值为3 因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或因为为正实数，所以【点睛】本题考查函数的切线方程的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是难题