1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。23.3直线与圆的位置关系必备知识自主学习导思1.如何利用直线与圆的方程判断位置关系?2.能不能利用几何图形判断位置关系?直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断:(1)方法:位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个方法几何法:设圆心到直线的距离d=dr代数法:由消元得到一元二次方程的判别式0=00(2)本质：利用直线与圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，哪种方法简单？提示：一般几
2、何法较为简单1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线()(2)过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交()(3)如果一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，那么这条直线一定过圆心()提示：(1).当点在圆上时，只能作圆的一条切线(2).过圆内的一点作直线，一定与圆有两个交点，因此一定相交(3).直径是圆的最长弦，因此直线一定过圆心2已知直线l过点P，圆C：x2y24x0，则()Al与C相交 Bl与C相切Cl与C相离 Dl与C的位置关系不确定【解析】选A.将圆的方程化为标准方程得：2y24，所以圆心C，半径r2，又P与圆心的距离d12r，所以点P在
3、圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交3(教材二次开发：例题改编)过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为()A B2 C D2【解析】选D.过原点且倾斜角为60的直线方程xy0，圆x2y24y0化为标准方程为x2(y2)24，圆心坐标为，半径r2，圆心到直线的距离d1，因此弦长为222.关键能力合作学习类型一直线与圆的位置关系的判断(数学运算、直观想象)1若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1，3C3，1 D(，31，)2直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不确定3圆x2y21与
4、直线ykx2没有公共点，求k的取值范围【解析】1.选C.方法一：(几何法)由题意可得，圆的圆心坐标为(a，0)，半径为，所以，即|a1|2，解得3a1.方法二：(代数法)由消y得，2x22(1a)xa210，由4(1a)28(a21)4a28a120，即a22a30，解得3a1.2选A.方法一：直线l：mxy1m0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2(y1)25的内部，所以直线l与圆相交方法二：(几何法).由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d10，故直线l与圆相交3方法一：将直线方程代入圆方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是16k212(k21)0，解得k
5、.方法二：圆心(0，0)到直线ykx2的距离d，直线与圆没有公共点的充要条件是d1.即1，解得k.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系dr相离(2)代数法：b24ac类型二直线与圆相切的问题(逻辑推理、直观想象)【典例】过点P画圆y24的切线，求切线方程四步内容理解题意条件：点P(4，5)，圆y24结论：切线方程思路探求讨论切线的斜率是否存在，利用圆心到直线的距离等于半径，解出切线方程书写表达当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y5k，即kxy54k0，由2得k，所以切线方程l：21x20y160.当切线斜率不存在时，切线l的方程为x4
6、.综上切线方程为21x20y160和x4.注意书写的规范性：设直线方程；根据圆心到直线的距离等于半径列方程；下结论题后反思设直线方程的点斜式方程时要考虑斜率存在与否解答题分类讨论，最后要下结论求圆的切线方程设出直线的方程后，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的方程设方程时要注意考虑斜率存在与否已知点M(3，1)，直线axy40及圆C：(x1)2(y2)24.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值【解析】(1)当斜率不存在时，x3与圆相切；当斜率存在时，设切线y1k(x3)，即kxy3k10，圆心到直线的距离2，解得k，切线方程为yx.综上，切线方程为yx和x3
7、.(2)圆心到直线的距离为2，解得a0，a.【拓展延伸】1过圆上一点的切线方程(1)若点M(x0，y0)在圆x2y2r2上，则过M点的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)若点M(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2上，则在点M处的切线方程为(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2.2过圆外一点的切线方程(1)若点M(x0，y0)在圆x2y2r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为x0xy0yr2.(2)若点M(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2.【拓展训练】已知点
8、M为圆x2y21上一点，求在点M处的切线方程【解析】方法一：直接应用结论所求切线方程为xy1，即xy20.方法二：当斜率不存在时x，不与圆相切，舍去；当斜率存在时，设yk，即2kx2yk0，圆心到直线的距离1，解得k，切线方程为xy20.综上，切线方程为xy20.类型三直线与圆的相交问题(数学运算，直观想象)角度1求弦长【典例】已知圆x2y26x0，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A1 B2 C3 D4【思路导引】首先判断点在圆内，然后利用最短弦与点和圆心连线垂直，构造直角三角形求解【解析】选B.将圆的方程x2y26x0化为标准方程(x3)2y29，设圆心为C，则C点坐标为(3，
9、0)，半径r3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(13)2229，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线lAC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d2，所以|BD|min222，即弦的长度的最小值为2.本【典例】若求最大值呢？【解析】当直线过圆心时，弦长最大所以最大弦长为圆的直径6.角度2综合问题【典例】已知圆C：x2y22x4y10，若在圆C中存在弦AB，满足2，且AB的中点M在直线2xyk0上，则实数k的取值范围是()A2，2 B5，5C(，) D，【思路导引】把弦长转化为圆心到直线的距
10、离【解析】选D.圆C的方程可化为(x1)2(y2)24，因此其圆心为C，半径r2，由于2，且AB的中点为M，则1，因此点M在以C(1，2)为圆心，1为半径的圆上，又点M在直线2xyk0上，所以直线2xyk0与圆(x1)2(y2)21有公共点，则1，解得k，故实数k的取值范围是，.1弦长的求法若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.2直线与圆的综合问题的求解策略直线与圆和平面几何、平面向量的联系十分紧密，可充分考虑平面几何、平面向量知识的运用1若直线xy2被圆2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()A0或4 B0或3C2或6 D1或【解析】选A.由圆的方程，可知圆心坐标为，半径r2.又直线
11、被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d.又d，所以2，解得a4或a0.2已知在圆M：x2y24x2y40内，过点O(0，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A6 B8 C10 D12【解析】选D.9，由题意可得：最长弦为直径6，最短的弦是4，则四边形ABCD的面积为12.3已知直线y2x1与圆x2y2ax2y10交于A，B两点，直线mxy20垂直平分弦AB，则m的值为_，弦AB的长为_【解析】设直线CD：mxy20可化为ymx2，由垂直得2(m)1，m.直线CD的表达式为yx2.圆的标准方程为2(y1)2，圆心C，半径.代入直线CD的表达式得12，解得a4.所
12、以圆心C(2，1)，半径为2.弦AB的长为2.答案：课堂检测素养达标1已知圆的方程为x2y21，则在y轴上截距为的切线方程为()AyxByxCyx或yxDx1或yx【解析】选C.在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为ykx，则1，所以k1，故所求切线方程为yx或yx.2直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB|_【解析】由x2y22x4y0，得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r，又圆心(1，2)到直线3xy60的距离为d，由r2d2，得|AB|2410，即|AB|.答案：3(教材二次开发：练习改编)已知直线l：yk(x
13、)和圆C：x2(y1)21，若直线l与圆C相切，则k_【解析】因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d1，解得k0或k.答案：0或4已知直线4xyb被圆x2y22x2y10截得的弦长为2，则b的值为_【解析】该圆的标准方程为(x1)2(y1)21，故该圆的圆心(1，1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线必过圆心所以41b，b3.答案：35若圆C：x2y22x4y30，关于直线2axby60对称，则由点向圆C所作的切线长的最小值为_【解析】将圆C：x2y22x4y30整理可得(x1)2(y2)22，由已知圆心在直线2axby60上，得ba3.由点向圆所作的切线长d222，又ba3，则d22a28a242(a2)216，故当a2时，切线长d有最小值为4.答案：4关闭Word文档返回原板块