1、第四节三角函数的图象与性质课标要求考情分析1.能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.知识点一用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1正弦函数ysinx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)2余弦函数y
2、cosx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0的情况，避免出现增减区间的混淆3对于ytanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)正切函数ytanx在定义域内是增函数()(2)已知yksinx1，x
3、R，则y的最大值为k1.()(3)ysin|x|是偶函数()(4)由sinsin知，是正弦函数ysinx(xR)的一个周期()解析：根据三角函数的图象与性质知(1)(2)(4)是错误的，(3)是正确的2小题热身(1)函数ytan3x的定义域为(D)A.B.C.D.(2)函数y2cos(xR)的最大值和最小正周期分别是(C)A2,3B1,6 C3,6D3,3(3)下列函数中最小正周期为，且图象关于直线x对称的是(B)Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin(4)函数ysin的图象的对称轴方程为xk(kZ)，对称中心为(kZ)(5)函数f(x)sin在区间上的最小值为.解析：(1)由3
4、xk(kZ)，得x，kZ.(2)由y2cos知，ymax2(1)3，最小正周期T6.(3)函数y2sin的最小正周期T，sin1，函数y2sin的图象关于直线x对称(4)由xk，kZ，得xk，kZ；由xk，kZ，得xk，kZ，故函数ysin的图象的对称轴方程为xk(kZ)，对称中心为(kZ)(5)由x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.考点一三角函数的定义域与值域【例1】(1)函数y的定义域为_(2)函数f(x)3sin在区间上的值域为_(3)函数f(x)sin2xcosx的最大值是_【解析】(1)要使函数有意义，必须使sinxcosx0.利用图象，在同一坐标系中画出
5、0,2上ysinx和ycosx的图象，如图所示在0,2内，满足sinxcosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.(2)当x时，2x，sin，故3sin，即此时函数f(x)的值域是.(3)f(x)1cos2xcosxcos2xcosx21，因为x，所以cosx0,1，所以当cosx时，函数取得最大值1.【答案】(1)(kZ)(2)(3)1方法技巧(1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)三角函数值域的求法利用sinx和cosx的值域直接求；把所给的三角函数式变换成yAsin(x)(A，0
6、)的形式求值域.1函数yln(2cosx1)的定义域为.解析：要使函数有意义，必须有即即所以2kx0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_【解析】由x0，得x0，kZ，得k0，所以.【答案】本例中，若已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是.解析：函数ycosx的单调递增区间为2k，2k，kZ，则kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.方法技巧(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解.但如果0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错.(2
7、)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.1(方向1)已知函数f(x)2sin，则函数f(x)的单调递减区间为(D)A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：函数的解析式可化为f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即函数f(x)的单调递减区间为(kZ)2(方向2)若函数g(x)sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是.解析：由2k2x2k(kZ)，可得kxk(kZ)，g(x)的单调递增区间为(kZ)又函数g(x)在区间和上均单调递增，解得a0)两个相邻的极值点，则()A2 B.C1 D.【解析】依题意得函数f(x)
8、的最小正周期T2，解得2，选A.【答案】A命题方向2三角函数的奇偶性【例5】已知函数f(x)2sin是偶函数，则的值为_【解析】函数f(x)为偶函数，k(kZ)又，解得，经检验符合题意【答案】命题方向3三角函数的对称性【例6】(1)已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为4，则该函数的图象()A关于点对称 B关于点对称C关于直线x对称 D关于直线x对称(2)已知函数f(x)sin(2x)的图象关于直线x对称，则的值为_【解析】(1)因为函数f(x)2sin(0)的最小正周期为4，而T4，所以，即f(x)2sin.令k(kZ)，解得x2k(kZ)，故f(x)的对称轴方程为x2k(kZ)令k(
9、kZ)，解得x2k(kZ)，故f(x)的对称中心为(kZ)，对比选项可知B正确(2)由题意得fsin1，k(kZ)，k(kZ)，.【答案】(1)B(2)方法技巧1.函数周期性的计算利用函数yAsin(x)，yAcos(x)(0)的最小正周期为，函数yAtan(x)(0)的最小正周期为求解2函数奇偶性的判断及应用三角函数中奇函数一般可化为yAsinx或yAtanx的形式，而偶函数一般可化为yAcosxb的形式3三角函数图象的对称性(1)对于可化为f(x)Asin(x)(0)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)，求x
10、即可(2)对于可化为f(x)Acos(x)(0)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)，求x即可1(方向1)函数f(x)的最小正周期是(C)AB2 C.D.解析：结合图象可知f(x)的最小正周期是f(x)sin的最小正周期的一半，所以f(x)的最小正周期为.2(方向2)函数f(x)3sin，(0，)满足f(|x|)f(x)，则的值为(C)A.B. C.D.解析：因为f(|x|)f(x)，所以函数f(x)3sin是偶函数，所以k，kZ，所以k，kZ，又因为(0，)，所以.3(方向3)已知函数f(x)|sinx|cos
11、x|，则下列说法不正确的是(C)Af(x)的图象关于直线x对称Bf(x)的最小正周期为C(，0)是f(x)图象的一个对称中心Df(x)在区间上单调递减解析：f(x)|sinx|cosx|sin2x|，作出函数f(x)的图象如图所示，由图知函数f(x)的图象关于直线x对称，f(x)的最小正周期为，f(x)在区间上单调递减，f(x)的图象无对称中心，故选C.三角函数中“”的常见求解方法【典例】已知0，函数f(x)sin在区间上单调递减，则的取值范围是_【解析】解法1：利用不等式的性质原函数是由ysint与tx复合而成因为tx递增，且t，问题转化为ysint在t0，所以2k0，即k.所以k，故k0.
12、因此.解法2：利用周期函数的性质设f(x)sin的最小正周期为T，由“单调区间的长度”及已知条件得，即T，得，即02.同解法1，问题转化为ysint在上单调递减，因此，0)在区间上是单调函数，则应满足的条件是(C)A01 B1C01或3 D00)的最小正周期为T，因为f(x)sinx(0)在区间上是单调函数，所以，即T.故，即03.原函数是由ysint，tx复合而成因为tx递增，且t.而0，0，所以或故01或3.故选C.2已知函数f(x)sin(04)，ff，且f(x)在上单调递减，则1.解析：由ff，可知函数f(x)的图象关于直线x对称，k，kZ，14k，kZ，又f(x)在上单调递减，T，2，又14k，kZ，当k0时，1.
