1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修3 第三章 概率成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 概率 第三章 第三章 概率成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 章末总结第三章 第三章 概率成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 专题突破 2知识结构 1第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 知 识 结 构第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 答案必然事件 不可能事件 A 发生，则 B 一定发
2、生，记作 AB AB AB 为不可能事件，AB 为必然事件 0P(A)1 P(A)1 P(A)0 若 A、B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)任何两个基本事件是互斥的 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 有限性 等可能性 P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数 无限性 等可能性P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 专 题 突 破第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 专题 1 频率与概率随机事件的概率是指在相同的条件下，大量重复
3、进行同一试验，随机事件 A 发生的频率mn会在某个常数附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有稳定性这时，我们把这个常数叫做随机事件 A 的概率，记作 P(A)它反映的是这个事件发生的可能性的大小第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说)，又有规律性(对大量重复试验来说)规律性体现在mn的值具有稳定性，当随机试验的次数不断增加时，mn的值总在某个常数附近摆动，随着 n的增加，摆动的幅度往往越来越小由于 0mn，故 0mn1，于是可得 0P(A)1.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3
4、例1 某射击运动员为2012年伦敦奥运会做准备，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 (4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？探究
5、 弄清频率与概率的含义及它们之间的关系是解题的关键.解析(1)由题意，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为3000.9270(次)(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心(4)不一定.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 规律总结 概率是一个理论值，频率是概率的近似值，当做大量的重复试验时，试验次数越多，频率的值越接近概率值第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 专题 2 互斥事件与对立事件互斥和对立都是反映事
6、件相互关系的重要概念互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用应用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式 P(AB)P(A)P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)1P(A)求解第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(
7、2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？探究 用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 把3个选择题记为x1、x2、x3,2个判断题记为p1、p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x2，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1
8、，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 (1)“甲抽到选择题，乙轴到判断题”的概率为 620 310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为 620 310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为 310 31035.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 220 110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为 1 110 910.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教
9、A版 数学 必修3 规律总结 本题利用分类讨论思想，把甲、乙抽题情况先分为四类，即“甲抽到选择题，乙抽到判断题”、“甲抽到判断题，乙抽到选择题”、“甲、乙都抽到选择题”和“甲、乙都抽到判断题”这四个互斥事件，而在每个互斥事件中，又按抽某个具体题目分类，从而写出了所有可能的基本事件第(2)问利用对立事件求解更为方便第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 专题 3 古典概型古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础在高考题中；经常出现此种概率模型的题目解题时要抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性在应用公式 P(A)mn时，关键是正确理解基本
10、事件与事件 A 的关系，求出 n、m.在求较为复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再利用公式 P(A)1P(A)就可以求出所求事件的概率第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 例3 有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A，B，C，D表示)；(2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率第三章 章末总结成才之路 高中
11、新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 探究 本题旨在考查对古典概型的理解及运用解析(1)树状图如图所示列表如下：ABCDA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)(2)摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌有 4 种情况，即(B，B)，(B，C)，(C，B)，(C，C)，故所求概率是 41614.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 专题 4 几何概型问题若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何
12、概型。由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用 P(A)mn求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 几何概型是新增内容，在高考中很少考查随机模拟，主要涉及几何概型的概率求解问题，难度不会太大，题型可能较灵活，涉及面可能较广几何概型的三种类型分别为长度型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型解题第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 当一随机试验的可能结果有无数个，并且每个结果的出现都是等
13、可能的，我们把这样的试验称为几何概型由于试验的结果不能一一列举出来，所以在计算概率时可利用试验的全部结果构成的区域和所求事件的结果构成的区域的几何度量的比值来计算常用的几何度量有长度，面积，体积和角度等，解题时要适当选择第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 例 4 已知 ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点 P，则取到的点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为()A.4 B14C.8D18第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 如图所示，设取到的点 P 到 O 的距离大
14、于 1 为事件M，则点 P 应在阴影部分内，阴影部分的面积为 21121222，所以 P(M)222 14.答案B第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 专题5 概率与统计的综合问题概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，属于中档以下难度第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 例5(2015四川模拟)某班同学利用国庆节进行社会实践，对25,55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳
15、族”，否则称为“非低碳族”，得到如下表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组25,30)1200.6第二组30,35)195p第三组35,40)1000.5第四组40,45)a0.4第五组45,50)300.3第六组50,55150.3第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 (1)补全频率分布直方图并求 n，a，p 的值；(2)从年龄段在40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2名领队中恰有 1 人年龄在40,45)岁的概率第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学
16、习指导 人教A版 数学 必修3 解析(1)第二组的频率为 1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高为0.35 0.06.频率直方图如下：第一组的人数为1200.6200，频率为 0.0450.2，所以 n2000.21 000.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 由题可知，第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 0000.3300，所以 p1953000.65.第四组的频率为 0.0350.15，所以第四组的人数为 1 0000.15150，所以 a1500.460.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学
17、 必修3 (2)因为40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1，所以采用分层抽样法抽取6人，40,45)岁中有4人，45,50)岁中有2人设40,45)岁中的4人为a，b，c，d，45,50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种；其中恰有1人年龄在40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n
18、)，共8种所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40,45)岁的概率为 815.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 专题6 思路方法总结思想1 函数与方程思想函数与方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立函数关系，运用解方程(组)或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决本章中应注意概率性质的应用，如必然事件的概率是1、互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率公式等第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 例 6 有 3 个 两 两 互 斥 的 事 件 A，B，C，已 知 事 件ABC是必然事件，事件A的概率是事
19、件B的概率的2倍，事件C的概率比事件B的概率大0.2.求事件A，B，C的概率探究 欲求各事件的概率，需用题设条件，设出未知量，列出方程求解解析 设P(B)x，则P(A)2P(B)2x，P(C)P(B)0.2x0.2.又因为ABC是必然事件，且A，B，C两两互斥，故1P(ABC)P(A)P(B)P(C)2xx(x0.2)4x0.2.所以，x0.2，故P(A)0.4，P(B)0.2，P(C)0.4.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 规律总结(1)要善于挖掘题目中的隐含条件例如，“两两互斥的事件”，是在提示使用互斥事件的概率加法公式；“ABC是必然事件”，即P(
20、ABC)1.(2)根据已知条件，结合概率加法公式，得到关于所求事件概率的方程(组)，解方程(组)便得结果运用方程思想解题的关键就是抓住等量关系，列出方程(组)第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 思想2 转化与化归思想转化与化归思想，简单地说就是将复杂的问题转化成简单的问题，将未解决的问题转化成已解决的问题本章中，有两个主要应用这种思想的解题方法：一是将所求事件的概率转化成所求事件的对立事件的概率；二是在几何概型中，将求概率的问题转化成求长度(面积或体积)比值的问题第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 例7 在1,1上任取两个
21、实数a、b，求一元二次方程x22axb20有两个非负实数根的概率探究 方程有两个实数根0|a|b|.因为方程两根皆非负，所以 x1x22a0，即 a0.又 a1,1，所以1a0.阴影部分所示区域需满足：1a0，1b1，|a|b|.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 方程 x22axb20 有两个非负实数根，则必须满足|a|b|，x1x22a0，x1x2b20.设该事件为 A，那么 A(a，b)|a|b|，且1a0用图形表示即为下图中阴影部分则 P(A)S阴影S正方形121222 14.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修
22、3 规律总结 本题将求有关方程的根的概率问题转化为面积型几何概型问题，求解的关键是由一元二次方程根与系数的关系求得所求事件对应的区域面积先构设变量(a，b)，用(a，b)表示每次试验的结果，再用相应的区域表示出试验的全部结果和所求事件包含的结果，然后求出各区域的面积，代入几何概型的概率公式计算.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 思想3 数形结合思想数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面在本章中，主要是借助形的生动性和直观性来阐明事件之间的联系本章常用的数形结合思想实例如下1树形图(列举基本事件)举例：一个袋中有2个红球，1个白球，试写出不放
23、回地先后抽取2个球的所有结果结合下图求解第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 2Venn 图(理解古典概型)举例：某班 42 人共订阅了 3 种学习刊物 A，B，C 订 A 的有 23 人，订 B 的有 16 人，订 C 的有 24 人，3 种全部订阅的有 6 人在该班中任选一人，求其至少订阅 2 种学习刊物的概率结合右图求解3一维图形(求线型几何概型的概率)举例：一条绳子长 5 m，在任一点用剪刀剪断，求使每段绳长不小于 2 m的概率结合右图求解第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 4二维图形(求面积型几何概型的概率)举例：
24、在长为 1 的线段上任取两点，求使这两点间距离小于12的概率结合图 1 求解第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 5三维图形(求体积型几何概型的概率)举例：在区间(0,1)内，任取三个数，求以这三个数为边长可构成三角形的概率结合图2求解第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 例8 两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等迟到者20分钟方可离去如果两人出发是各自独立的，且在0时到1时之间的任何时刻是等概率的，问两人相遇的可能性是多大？第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 假设两人分别在 x 时与 y 时到达，依题意：|xy|13才能相遇显然到达时间的全部可能结果均匀分布在右面的单位正方形 I 内，而相遇现象，则发生在图中阴影区域 G 中，由几何概率的定义：PSGSI122321259.所以，两人相遇的可能性为59.第三章 章末总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 规律总结 几何概型的求解，关键是找到全体基本事件的区域度量及某事件的基本事件的区域度量做题时，可以先据题意作出图形后再确定区域的度量
