1、第2课时利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如lnxx1，exx1，lnxx0)，ln(x1)x(x1)；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数
2、；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解方法1直接构造差函数法【例1】已知函数f(x)1，g(x)bx(e为自然对数的底数)，若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直(1)求a，b的值；(2)求证：当x1时，f(x)g(x).【解】(1)因为f(x)1，所以f(x)，f(1)1.因为g(x)bx，所以g(x)b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，即
3、g(1)1ab1，g(1)a1b1，解得a1，b1.(2)证明：由(1)知，g(x)x，则f(x)g(x)1x0.令h(x)1x(x1)，则h(x)11.因为x1，所以h(x)10，所以h(x)在1，)上单调递增，所以h(x)h(1)0，即1x0，所以当x1时，f(x)g(x).方法技巧待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证.已知函数f(x)x2e2x2.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x0,2时，求证：f(x)2x28x5.解：(1)f(x)2e2x2(x2x)，f(1)4，f
4、(1)1，则曲线yf(x)在点(1,1)处的切线方程为y14(x1)，即y4x3.(2)证明：当x0,2时，令g(x)x2e2x22x28x5，则g(x)2e2x2(x2x)4x8，令h(x)g(x)，则h(x)2e2x2(2x24x1)40，所以g(x)在0,2上单调递增，且g(1)0，所以g(x)在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)0，所以g(x)0，即f(x)2x28x5.方法2特征分析构造法【例2】已知函数f(x)lnxax，aR.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)当a时，证明：x3f(x)【解】(1)f(x)的定义域为(0，)由已知得f(x)a
5、(x0)，则当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)在(0，)上单调递增当a0，得x，则f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当af(x)可化为x2.令m(x)x1，x0，则m(x)(x0)，令h(x)x2lnx1，x0，则h(x)2x0，所以h(x)在(0，)上单调递增，又h(1)0，所以当x(0,1)时，h(x)0，则m(x)0，则m(x)0，所以m(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以m(x)m(1)0，即x1，当且仅当x1时，等号成立又x2(x1)x2x(x)20，所以x2x1，当且仅当x时，等号成立故x
6、2，即x2，即x3lnxx，即x3f(x)方法技巧用特征分析构造法证明不等式，就是将一些复杂函数通过等价变形或合理拆分，得到一些熟悉的基本初等函数，然后利用这些基本初等函数的性质和图象等，进行合理放缩，这样可以大大减少运算量，降低思维难度，进而使问题更易解答.已知函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xy30.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)lnx，求证：g(x)f(x)在1，)上恒成立解：(1)将x1代入切线方程得y2，所以f(1)2，化简得ba4.f(x)，f(1)1.联立，解得a2，b2.所以f(x).(2)证明：由题意知要证lnx在1，)上恒成立，即证明(x21)l
7、nx2x2，x2lnxlnx2x20在1，)上恒成立设h(x)x2lnxlnx2x2，则h(x)2xlnxx2，因为x1，所以2xlnx0，x22(当且仅当x1时等号成立)，即h(x)0，所以h(x)在1，)上单调递增，h(x)h(1)0，所以g(x)f(x)在1，)上恒成立方法3放缩法【例3】已知函数f(x)axlnx1.(1)若f(x)0恒成立，求a的最小值；(2)求证：xlnx10；(3)已知k(exx2)xxlnx恒成立，求k的取值范围【解】(1)f(x)0等价于a.令g(x)(x0)，则g(x)，所以当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0)令t，则xlnxlnt，所
8、以xlnx1，即xlnx10.(3)因为k(exx2)xxlnx恒成立，即k1lnx恒成立，所以k1，由(2)知xlnx10恒成立，所以11，所以k1.故k的取值范围为1，)方法技巧导数的综合应用题中，最常见就是ex和lnx与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式如下：(1)ex1x，当且仅当x0时取等号；(2)exex，当且仅当x1时取等号；已知函数f(x)xexx2axb，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为4x2y30.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)lnx.解：(1)f(x)(x1)ex2
9、xa，由题意知解得(2)由(1)知，f(x)xexx2x.先证当x0时，f(x)2x，即证xexx2x0.设g(x)xexx2x，x0，则g(x)(x1)ex2x1，g(0)0.设(x)g(x)，则(x)(x2)ex20，所以函数g(x)在0，)上单调递增，故g(x)g(0)0，所以函数g(x)在0，)上单调递增，则当x0时，g(x)xexx2xg(0)0.(也可直接分析xexx2x2xxexx2x0exx10，显然成立)再证2xlnx，设h(x)2xlnx，则h(x)2，令h(x)0，得x，则当x(0，)时，h(x)0，函数h(x)单调递增所以h(x)2xlnxh()ln20，即有2xlnx
10、，又f(x)xexx2x2x(x0)，故f(x)lnx.方法4构造双函数法【例4】已知函数f(x)ex2xlnx.求证：当x0时，f(x)xex.【证明】要证f(x)xex，只需证exlnxex，即exex0)，则h(x)，易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)minh0，所以lnx0.再令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex0.因为h(x)与(x)不同时为0，所以exex0)(1)求函数h(x)f(x)g(x)的极值；(2)求证：当x0时，不等式lnx0成立(其中e为自然对数的底数，e2.718 28)解：(1)F(x)f(x)g(x)ax2lnx(x0)，F(x)axlnxaxax， (2)令G(x)，则G(x)，当x(0,2)时，G(x)0，G(x)单调递增；当x(2，)时，G(x)0，G(x)单调递减，则G(x)maxG(2)，而，原不等式得证