1、课时强化训练(十三)1(2013安徽卷)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60.(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cosCOD.解析：()证明：设面PAB与面PCD的交线为l.因为ABCD，AB不在面PCD内，所以AB面PCD.又AB面PAB，面PAB与面PCD的交线为l，所以ABl.由直线AB在底面上而l在底面外可知，l与底面平行()设CD的中点为F.连接OF，PF.由圆的性质，COD2COF，OFCD.因为OP底面，CD底面，所以OPCD，又OPOFO，故CD面OPF
2、.又CD面PCD，因此面OPF面PCD，从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF，故OPF为OP与面PCD所成的角由题设，OPF60.设OPh，则OFOPtanOPFhtan60h.根据题设有OCP22.5，得OC.由1tan45和tan22.50，可解得tan22.51，因此OC(1)h.在RtOCF中，cosCOF，故cosCODcos(2COF)2cos2COF12()211712.2(2013北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证
3、明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.并求的值解析：()因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.()由()知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题 知二面角A1BC1B1为锐角，所以二
4、面角A1BC1B1的余弦值为.()设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且.所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由0，即9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.3(2013湖北卷)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC的大小为，求
5、证：sinsinsin.解析：()直线l平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以l平面PAC. 图1 图2()(综合法)如图1，连接BD，由()可知交线l即为直线BD，且lAC.因为AB是O的直径，所以ACBC，于是lBC.已知PC平面ABC，而l平面ABC，所以PCl.而PCBCC，所以l平面PBC.连接BE，BF，因为BF平面PBC，所以lBF.故CBF就是二面角ElC的平面角，即CBF.由，作DQCP
6、，且DQCP.连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP2PF，所以DQPF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQFD.连接CD，因为PC平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即CDF.又BD平面PBC，有BDBF，知BDF为锐角，故BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即BDF，于是在RtDCF，RtFBD，RtBCF中，分别可得sin，sin，sin，从而sinsinsin，即sinsinsin.(向量法)如图2，由，作DQCP，且DQCP.连接PQ，EF，BE，BF，BD，由()可知交线l即为直线BD.以点C为原点，向量，所在直线分别为x，
7、y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CAa，CBb，CP2c，则有C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，b,0)，P(0,0,2c)，Q(a，b，c)，E(a,0，c)，F(0,0，c)于是(a,0,0)，(a，b，c)，(0，b，c)，所以cos，从而sin.又取平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)，可得sin，设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，所以由可得取n(0，c，b)于是|cos|，从而sin.故sinsinsin，即sinsinsin.4(2013福建卷)如图，在四棱柱ABCA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC
8、5k，DC6k(k0)(1)求证：CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值；(3)现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式(直接写出答案，不必说明理由)解析：()取CD的中点E，连接BE.ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD.又BEAD，CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.()以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由，得取y2，得n(3,2，6k)设AA1与平面AB1C所成角为，则sin|cos，n|，解得k1，故所求k的值为1.()共有4种不同的方案f(k)