1、江苏省南京市溧水区第二高级中学、南渡中学联考2020届高三数学12月月考试题 文一填空：1已知集合则 2已知幂函数在是增函数，则实数m的值是 3已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于 4公差不为零的等差数列的第二、三及第六项构成等比数列，则= 5函数的定义域是 6在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的两条渐近线方程是 7若变量满足，则的最大值为 .8若函数在上有极值，则实数的取值范围是 9若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 10已知圆，直线为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点A的横坐标的取值范围是 11已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调
2、增区间为 12. 首项为正数的数列满足,若对一切都有，则的取值范围是_13已知椭圆的离心率，左焦点为，为左顶点，为上、下顶点，直线与交于，则的值为_ .14已知对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围是 _ .二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知函数 （）求的单调递减区间;（）将函数的图象向左平移个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求函数在上的值域.16如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点PABCFE（第16题图）(1)求证：/平面；(2)若平面平面，求证：17已知函数（为常数），其图象是曲线（1）
3、当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围18（本小题满分16分）如图所示的自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形，其中为2米，梯形的高为1米，为3米，上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和平行.当位于下方和上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）.（1）设与之间的距离为且米，试将通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；（2）当与之间的距离为多少时，通风窗的通风面积取得最大值？19(本题满分16分)如图，已知椭圆的右焦点为，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直
4、线上的一个动点（与轴交点除外），直线 交椭圆于另一点（1）当直线过椭圆的右焦点时，求的面积； （2）记直线的斜率分别为 ，求证： 为定值； 求的取值范围20.（本题满分16分)已知数列中，前项和为，若对任意的，均有（ 是常数，且）成立，则称数列为“数列”.（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的的所有 可能值，如果不存在，请说明理由。第一学期第二次阶段测试答案1 2 3. 4. 1 5 6 78 8 9 10 11. 12、或 13. 1415.【解析】解法一：（） 由, 得 ,所以的单调递减区间为
5、 ,.（）将的图象向左平移个单位,得到 ,再将 图象上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到. , . , . 函数在上的值域为 .解法二： 16.（1）在中，、分别是、的中点，所以，又平面，平面，所以平面6分（2）在平面内过点作，垂足为因为平面平面，平面平面，平面，所以平面,8分又平面，所以，10分又，平面，平面，所以平面，12分又平面，所以14分17. (1)当时， . 2分令f (x)0，解得，所以f(x)的单调减区间为 6分(2) ，由题意知消去，得有唯一解6分令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，10分又，故实数的取值范围是 16分18.解：（1）当时，过作于（如图）则
6、，由，得， ，；当时，过作于，连结（如图），则， ，综上，；（2）当时，在上递减，；当时，当且仅当，即时取“”，此时，的最大值为.答：当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.19解：（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，即，联立，解得或（舍），即2分连BF，则直线BF：，即，而， 4分故 5分（2）解法一：设，且，则直线PM的斜率为，则直线PM的方程为， 联立化简得，解得， 8分 所以，所以为定值10分 由知，所以， 13分令，故，因为在上单调递增，所以，即的取值范围为16分解法二：设点，则直线PM的方程为，令，得. 所以，所以（定值）. 10分由知，所以 = 13分令，则，因为在上单调递减，所以，即的取值范围为16分20. （1）因为数列为“数列”，所以，故两式相减得 在中令，则可得，故所以，所以数列为等比数列，所以，所以 6分（2）由题意得，故，两式相减得 8分所以，当时，又因为 所以所以，所以当时，数列是常数列11分所以 12分所以因为 ，所以在中令，则可得，所以又时且为整数所以可解得 16分