1、数列的综合应用问题一、选择题(每小题5分，共25分)1设an是等比数列，则“a1a2a3是递增数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2在等差数列an中，若a1，a2 011为方程x210x160的两根，则a2a1 006a2 010()A10 B15 C20 D403已知正项组成的等差数列an的前20项的和为100，那么a6a15的最大值为()A25 B50 C100 D不存在4已知数列an的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n1，Sn1)(nN*)的直线的斜率为3n2，则a2a4a5a9的值等于()A52 B40 C26 D205已知各
2、项都是正数的等比数列an中，存在两项am，an(m，nN*)使得4a1，且a7a62a5，则的最小值是()A. B. C. D.二、填空题(每小题5分，共15分)6为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到4.9之间的学生数为b，则a，b的值分别为_7在等比数列an中，首项a1，a4(12x)dx，则公比q为_8已知数列an中，a11，且P(an，an1)(nN*)在直线xy10上，若函数f(n)(nN*，且n2)，函数f(n)的最
3、小值是_三、解答题(本题共3小题，共35分)9(11分)已知数列an是等差数列，满足a25，a413.数列bn的前n项和是Tn，且Tnbn3.(1)求数列an及数列bn的通项公式；(2)若cnanbn，试比较cn与cn1的大小10(12分)首项为正数的数列an满足an1(a3)，nN*.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n2，an都是奇数；(2)若对一切nN*都有an1an，求a1的取值范围11(12分)等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8
4、 18(1)求数列an的通项公式；ZXXK(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.参考答案1C“a1a2a3”“数列an是递增数列”2B由题意，知a1a2 011a2a2 0102a1 00610，所以a2a1 006a2 01015，故选B.3AS2010(a1a20)100，故a6a15a1a2010，a6a15（）225.4B由题意得，3n2，Sn1Sn3n2，即an13n2，an3n5，因此数列an是等差数列，a510，而a2a4a5a92(a3a7)4a540，故选B.5A记等比数列an的公比为q(q0)，依题意有a5q2a5q2a5，由a50，得
5、q2q20，解得q2，又(a12m1)(a12n1)16a，即2mn224，mn24，mn6，（）(mn)5（）(54).6解析第一组的频数为：0.10.12002，第二组的频数为：0.30.12006，故第三组的频数为：18，第四组的频数为：54.a0.27.后五组的频数共有：20080120.又后六组成等差数列，所以第七组的频数为24，第五、六组的频数共为78，故b5478132.答案0.27,1327解析a4(442)(112)18，q327，q3.答案38解析由题意知，anan110，即an1an1，数列an是等差数列，公差d1，ann，当n2时，f(n)，f(n1)f(n)（）0，f
6、(2)f(3)，f(n)minf(2).答案Zxxk.Com9解(1)a25，a413，a4a22d，即1352d.d4，a11，an4n3.又Tnbn3，Tn1bn13，2bn1bn0，即bn1bn.b1b13，b1，数列bn为首项是，公比是的等比数列，bn（）n1.(2)cnanbn，cn1，cn1cn.当n1时，cn1cn0，cn1cn；当n2(nN*)时，cn1cn0，cn1cn.10(1)证明已知a1是奇数，假设ak2m1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak1m(m1)1是奇数根据数学归纳法，对任何nN*，an都是奇数(2)解法一由an1an(an1)(an3)知，an1an当
7、且仅当an1或an3.另一方面，若0ak1，则0ak11；若ak3，则ak13.根据数学归纳法，0a110an1，nN*，a13an3，nN*.综上所述，对一切nN*都有an1an的充要条件是0a11或a13.法二由a2a1，得a4a130，于是0a11或a13.an1an，因为a10，an1，所以所有的an均大于0，因此an1an与anan1同号根据数学归纳法，nN*，an1an与a2a1同号因此，对一切nN*都有an1an的充要条件是0a11或a13.11解(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318.所以公比q3.故an23n1.(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn