1、素养培优课(二)平衡条件的应用 第4章 力与平衡 培优目标 1掌握解决静态平衡问题的常用方法。2学会用解析法、图解法、三角形相似法解决动态平衡问题。3掌握解决临界问题和极值问题的方法。合作探究提素养 NO.1考点1 考点2 考点3 考点 1 静态平衡问题 1静态平衡的定义 静态平衡是指物体在共点力的作用下保持静止状态时的平衡。2静态平衡的理解(1)运动学特征：处于静态平衡的物体速度为零。(2)平衡条件：处于静态平衡的物体所受的合力为零。(3)实例：日常生活中，三角形支架以其优越的平衡稳定性被广泛采用。如：大型展览馆、体育馆屋顶的钢架结构，马路边的路灯支架，建筑工地的塔吊支架等静态平衡装置大多采
2、用三角形结构。【典例 1】沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在 A点，如图所示，足球的质量为 m，网兜的质量不计，足球与墙壁的接触点为 B，悬绳与墙壁的夹角为，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力。思路点拨：球处于静止状态，所受合外力为零。选取球为研究对象可采用合成法、分解法、正交分解法求解。解析 方法一：用合成法取足球和网兜作为研究对象，它们受重力 Gmg、墙壁的支持力 N 和悬绳的拉力 T 三个共点力作用而平衡。由共点力平衡的条件可知，N 和 T 的合力 F 与 G 大小相等、方向相反，即 FG，作平行四边形如图所示。由三角形知识得：NFtan mgtan，T Fcos mgcos。方法二：用分
3、解法取足球和网兜作为研究对象，其受重力 Gmg、墙壁的支持力 N、悬绳的拉力 T，如图所示，将重力分解为 F1和 F2。由共点力平衡条件可知，N 与 F1 的合力必为零，T 与 F2的合力也必为零，所以 NF1mgtan，TF2 mgcos。方法三：用正交分解法求解 取足球和网兜作为研究对象，受三个力作用，重力Gmg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将T分别沿x轴和y轴方向进行分解。由平衡条件可知，在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零，即 Fx 合NTsin 0 Fy 合Tcos G0 由式解得：T Gcos mgcos 代入式得：NTs
4、in mgtan。答案 mgcos mgtan 解决静态平衡问题的方法及步骤(1)处理平衡问题，常用的方法有合成法、分解法、相似三角形法、正交分解法等。(2)应用平衡条件解题的步骤 明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)；对研究对象进行受力分析；建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程；求解方程，并讨论结果。跟进训练 1如图所示，质量为 m 的小球置于倾角为 30的光滑斜面上，劲度系数为 k 的轻质弹簧，一端系在小球上，另一端固定在墙上的 P 点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为 30，则弹簧的伸长量为 ()Amgk B 3mg2k C 3mg3kD 3mgk C
5、解法一：正交分解法 如图甲所示为小球的受力情况，其中 F 为弹簧的弹力，由几何关系可知，弹力 F 与斜面之间的夹角为 30。将小球所受的重力 mg 和弹力 F 分别沿平行于斜面和垂直于斜面的方向进行正交分解，由共点力的平衡条件知，弹力 F 沿斜面向上的分力与重力 mg 沿斜面向下的分力大小相等，即Fcos 30mgsin 30，由胡克定律得 Fkx，联立解得弹簧的伸长量 x3mg3k，选项 C 正确。甲 乙 解法二：合成法 如图乙所示，将弹力 F 和斜面对小球的支持力 FN 直接合成，图中的 F即为两力的合力。由几何关系可知，图中 120，30，由正弦定理可得mgsin 120Fsin 30，
6、而弹力 Fkx，联立解得弹簧的伸长量 x 3mg3k。考点 2 动态平衡问题 动态平衡问题是指物体的状态发生缓慢变化，可以认为任一时刻都处于平衡状态。分析此类问题时，常用方法见下表：解析法对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变参量与自变参量的一般函数，然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化 图解法对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段长度、角度的变化判断各个力大小、方向的变化情况 相似三角形法在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三
7、角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算 解析法和图解法的应用【典例 2】(2020辽宁大连高一上期中)如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为 FN1，木板对球的压力大小为 FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中()AFN1 始终减小，FN2 始终增大 BFN1 始终减小，FN2 始终减小 CFN1 先增大后减小，FN2 始终减小 DFN1 先增大后减小，FN2 先减小后增大 B 解法一：解析法 如图甲所示，因为 FN1 mgtan，FN2 mgsin，逐渐增大到 90，tan、
8、sin 都增大，FN1、FN2 都逐渐减小，所以选项 B 正确。甲 乙 解法二：图解法 如图乙所示，把 mg 按它的两个效果进行分解。在木板缓慢转动时，FN1 的方向不变，mg、FN1、FN2 应构成一个闭合的三角形。FN2始终垂直于木板，随木板的转动而转动，由图可知，在木板转动时，FN2 变小，FN1 也变小，选项 B 正确。三角形相似法的应用【典例 3】一轻杆 BO，其 O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶 A 处的光滑小滑轮，用力 F 拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆 BO 与杆AO 间的夹角 逐渐减小，则在此过程中，拉力 F 及杆 B
9、 端所受的压力 FN 的大小变化情况是 ()AFN 先减小后增大 BFN 始终不变 CF 先减小后增大DF 始终不变 B 取杆 BO 的 B 端为研究对象，受到 AB 间细绳的拉力(大小为 F)、杆 BO 的支持力 FN 和悬挂重物的细绳的拉力(大小为 G)的作用，将 FN 与 G 合成，其合力与 AB 间细绳上拉力 F 等大反向，如图所示，将三个力相连构成封闭的三角形(如图中画竖线部分)，力的三角形与几何三角形 OBA 相似，设AO 长为 H，BO 长为 L，绳长为 l，利用相似三角形可得GHFNL Fl，式中G、H、L 均保持不变，l 逐渐变小，则 FN 不变，F 逐渐变小。B 正确。跟进
10、训练 2(角度 1)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体 A，A 的左端紧靠竖直墙，A 与竖直墙之间放一光滑圆球 B，整个装置处于静止状态。则把柱状物体 A 向右缓慢移动少许的过程中，下列判断正确的是()A球 B 对墙的压力增大 B球 B 对柱状物体 A 的压力增大 C地面对柱状物体 A 的摩擦力不变 D地面对柱状物体 A 的支持力不变 D 球 B 受重力、柱状物体 A 的支持力 F1 和墙的支持力 F2，如图甲所示，设 F1 与竖直方向的夹角为，将重力 G 分解为 G1 和G2，根据平衡条件可知，F1G1 Gcos，F2G2Gtan。把柱状物体 A 向右缓慢移动少许
11、的过程中，根据几何关系可知，柱状物体A 对球 B 的支持力 F1 与竖直方向的夹角 减小，所以 cos 增大，tan 减小，即墙壁对球 B 的支持力 F2 减小，A 对球 B 的支持力 F1 减小，则球 B 对墙的压力减小，球 B 对柱状物体 A 的压力也减小，选项 A、B 错误；对 A、B 整体进行受力分析，如图乙所示，由平衡条件可知，柱状物体 A 受地面的摩擦力大小 FfF2，则 Ff 减小，地面对柱状物体 A 的支持力等于 A、B 的重力之和，大小不变，选项 C 错误，D正确。甲 乙 3(角度 2)(多选)如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小定滑轮，轻绳的一
12、端系一小球，小球靠在半球上的 A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由 A 点移动到半球面的顶点 B 的过程中，半球形物体对小球的支持力 FN 和绳对小球的拉力 FT 的变化情况是()AFN 变大 BFN 不变 CFT 变小DFT 先变小后变大 BC 以小球为研究对象，小球受重力 G、绳的拉力FT 和半球形物体的支持力 FN，作出 FN、FT 的合力 F，如图所示，由平衡条件可知，FG，由相似三角形知识得FNAO FO1O FTO1A，解得 FN AOO1OG，FTO1AO1OG。由题知，缓慢地将小球从 A 点拉到 B 点过程中，O1O、AO 不变，O1A
13、 变小，可见FT 变小，FN 不变，B、C 正确。考点 3 平衡问题中的临界问题和极值问题 1临界问题(1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。(2)问题特点 当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。(3)分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。2极值问题(1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。(2)分析方法 解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或根据物理临
14、界条件求极值。图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。【典例 4】如图所示，小球的质量为 2 kg，两根轻绳 AB 和 AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于小球上，AC 绳水平，AB 绳与 AC 绳成 60角，在小球上另施加一个方向与水平线也成 角的拉力F，取 g10 m/s2。若要使绳都能拉直，求拉力 F 的大小范围。思路点拨：因为绳都能拉直，所以各个夹角不变化。分两种情况，即第一种是 FB0 时，第二种是 FC0 时，分别解出即可。解析 小球受重力 mg、AB 拉力 FB、AC 拉力 FC 和 F 作用处于平衡状态，如图所示。
15、由Fx合0Fy合0，有Fcos 60FCFBcos 60FBsin 60Fsin 60mg 要两绳伸直则应满足 FB0，FC0 FB0 时，F mgsin 6040 33 N FC0 时，Fmg2sin 6020 33 N 综上所述，F 的大小范围为20 33 NF40 33 N。答案 20 33 NF40 33 N 临界与极值问题的分析技巧(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。(2)临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题；要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而作出判断或给出
16、结论。跟进训练 4(2020浙江杭州二中高一上期中)将两个质量均为 m 的小球 a、b 用细线相连后，再用细线悬挂于 O 点，如图所示。用力 F 拉小球 b，使两个小球都处于静止状态，且细线 OA 与竖直方向的夹角保持 30，重力加速度为 g，则 F 的最小值为 ()A 33 mg Bmg C 32 mg D12mg B 以 a、b 为整体，整体受重力 2mg，细线 OA的拉力 FT 及拉力 F 三个力而平衡，如图所示，三个力构成的矢量三角形中，当力 F 垂直于细线 OA 的拉力FT 时有最小值，且最小值 F2mgsin mg，B 项正确。点击右图进入 素 养 培 优 集 训 谢谢观看 THANK YOU!