1、河北省“五个一名校联盟”2021届高三数学上学期第一次诊断考试试题第卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Ay|yx2-2x，xR，集合Bx|yln（3-x），则ABA B-1，0） C-1，3） D-1，）2已知复数z34i，那么A B1 C D3已知向量（1，0），（0，1），则向量与向量的夹角为A B C D4安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生a不去甲单位，医生b只能去乙单位，则不同的选派方式共有A18种 B24种 C36种 D42种5在正四面体S-ABC中，点O为三角形SBC的垂心，则直
2、线AO与平面SAC所成的角的余弦值为A B C D6在平面直角坐标系xOy中，圆x2y24上三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）构成正三角形ABC，那么A0 B2 C3 D67已知双曲线C：（a0，b0）的右焦点为F，双曲线C的右支上有一点P满足|OP|OF|2|PF|（点O为坐标原点），那么双曲线C的离心率为A2 B C D8已知函数，若f（2a-1）f（a2-2）-2，则实数a的取值范围是A-3，1 B-2，1 C（0，1 D0，1二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9若函数f（x）tan2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，那
3、么下列说法正确的是A函数g（x）的定义域为，kZB函数g（x）在单调递增C函数g（x）图象的对称中心为，kZD函数g（x）1的一个充分条件是10已知数列an满足a11，nan1-（n1）an1，nN*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是A数列an是公差为2的等差数列B满足Sn100的n的最大值是9CSn除以4的余数只能为0或1D2Snnan11已知a，b0且2ab1，则的值不可能是A7 B8 C9 D1012如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB8，把ADE沿着DE翻折至ADE位置，使得二面角A-DE-B为60，则下列选项中正确的是A点A到平面BCED的距离为
4、3B直线AD与直线CE所成的角的余弦值为CADBDD四棱锥A-BCED的外接球半径为第卷（非选择题）三、填空题：13曲线f（x）e-2xx2在点（0，f（0）处的切线方程为_14已知抛物线C：y24x，直线l：x-1，过直线l上一动点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，则以AB为直径的圆与直线l的位置关系是_（用“相交”“相切”或“相离”填空）15“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是
5、一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：若一个正整数被3除余2且被5除余4，就称为“数”，现有数列an，其中an2n-1，则数列an前2021项中“数”有_个16已知函数在定义域内没有零点，则a的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在以下三个条件中任选一个：sin2Asin2Bsin2C-sinBsinC；1-2sinBsin（A-C）cos2B；并解答以下问题：（1）若选_（填序号），求cosA的值；（2）在（1）的条件下，若a2，求ABC的面积S的最大值18已知等差数列an的前n项和为Sn，
6、若a1-8，S6a51（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn2n1，求数列|an|bn的前n项和Tn19如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB2，AA3，且AABAADBAD60（1）求证：平面ABD平面ABCD；（2）求二面角B-AC-D的余弦值20甲乙两人进行投篮比赛，每轮比赛由甲乙各投一次，已知甲投中的概率为，乙投中的概率为每轮投篮比赛中，甲乙投中与否互不影响，按以下情况计分：都投中或者都不中双方都记0分；一方投中，而另一方未中，投中者得1分，未中者得-1分；若有人积2分，则此人获胜且比赛停止（1）比赛三轮后，甲积1分的概率是多少？（2）若比赛至多进行五轮，问
7、乙能获胜的概率是多少？21设函数f（x）x3bx2cx1存在两个极值点x1，x2，且x11，0，x20，1（1）求c的取值范围；（2）证明：-1f（x2）122在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（ab0）和抛物线D：y24x，椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C上有一点P满足|PF1|F1F2|PF2|345，抛物线D的焦点为F2（1）求椭圆C的方程；（2）过F2作两条互相垂直的直线l1和l2，其中直线l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交抛物线D于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值河北省“五个一名校联盟”2021届高三第一次诊断考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，在每小
8、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C 2B 3D 4A 5B 6D 7C 8A二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9BD 10ABC 11ABD 12ABD三、填空题：132xy-10 14相切 15134 16（，）四、解答题：17解：（1）若选，sin2Asin2Bsin2C-sinBsinC，由正弦定理可得：a2b2c2-bc，再由余弦定理可得：若选，由二倍角公式，若选，由1-2sinBsin（A-C）cos2B，可得sinBsin（A-C）sin2B即sin（A-C）sinB，即A-CB或A-C-B（舍），所以可得A-CB，而ABC，所以，
9、则cosA0（2）若选或，由余弦定理a2b2c2-2bccosA，把，a2代入可得：4b2c2-bcbc，可得bc4，当且仅当bc时等号成立，又因为A为三角形内角，可得sinA0，则，则，即S的最大值为，若选，由勾股定理a2b2c2，即4a2b22bc，可得bc2，当且仅当bc时等号成立则，即S的最大值为118解：（1）由题意，设等差数列an的公差为d，由题意可知：6a115da14d1，其中a1-8，解得：d3，则an-83（n-1）3n-11（2）由（1）可知当n1，2，3时，an0，|an|-an，当n4时，an0，|an|an，当n1，2，3时，可知：T132，T272，T3104，当
10、n4时，可知：Tn104a4b4anbn，即：Tn104（34-11）25（3n-11）2n1，两边乘以2可得：2Tn2104（34-11）26（3n-11）2n2，两式做差，整理可得：Tn（3n-14）2n2264，综上可得：19解：（1）证明：过A向底面作垂线，设垂足为O，过O分别向AD，AB作垂线，垂足分别为E，F，连接AE和AF，易得AOAD，OEAD，AOOEO，所以AD平面AOE，所以ADAE，同理ABAF在RtAAE和RtAAF中，AABAAD60，所以，在RtOAE和RtOAF中，OAEOAF30，可解得：，所以O在DAB的平分线AC上，又，所以O既为AC中点，又在BD上，AC
11、BDO，又AO平面ABD，AO平面ABCD，所以平面ABD平面ABCD；（2）方法一：由（1）可知OA，OA，OB两两垂直，分别以OA，OB，OA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），A（0，0，），D（0，-1，0），C（，0，），设平面BAC的法向量为（x，y，z），则，即，可取z1，则（0，1），同理可解得平面DAC的一个法向量为（0，1），则，由图可知该二面角为锐二面角，故二面角B-AC-D的余弦值是方法二：由（1）可知：平面ABD平面ABCD，又ACBD，AC平面ABCD，所以AC平面ABD，又ACAC，所以AC平面ABD，则BA
12、D即为二面角B-AC-D的平面角；由（1）可知：，ABAD，BD2，由余弦定理可得：，所以二面角B-AC-D的余弦值是20解：（1）在一轮比赛中，甲积1分记为事件A，其概率为，甲积0分记为事件B，其概率为P（B），甲积-1分记为事件C，其概率为，三轮比赛后，甲积1分记为事件D，则P（D）P（ABBBABBBACAAACA）P（ABB）P（BAB）P（BBA）P（CAA）P（ACA）（2）乙两轮获胜记为事件E，则P（E）P（CC）；乙三轮获胜记为事件F，则P（F）P（BCCCBC）P（BCC）P（CBC）；乙四轮获胜记为事件G，则P（G）P（BBCCBCBCCBBCACCCCACC）P（BBCC
13、）P（BCBC）P（CBBC）P（ACCC）P（CACC）；乙五轮获胜记为事件H，则P（H）P（BBBCCBBCBCBCBBCCBBBCBACCCBCACCABCCCCBACCACBCCCABCCACCBCCACBC）综上：若比赛至多进行五轮，则乙能获胜的概率是21解：（1）f（x）3x22bxc，由题意可知，f（x）3x22bxc0有两个不同的根x1、x2，且x1-1，0，x20，1，则，解得：-3c0，即c的范围为-3，0（2）由题意可知，所以，所以，令，求导可得：，可知g（x）在0，1上单调递减，则，即，又由-3c0，所以-1f（x2）1得证22解：（1）由题意可知，抛物线D：y24x的
14、焦点为（1，0），所以椭圆C的半焦距c1，又椭圆C有一点P满足|PF1|F1F2|PF2|345，所以椭圆C的离心率，所以a2，则求得椭圆C的方程是（2）当直线AB的斜率不存在时，直线PQ即为x轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；当直线AB的斜率为0时，A，B为椭圆长轴两端点，直线PQx轴，|PQ|4，四边形APBQ的面积S428；当直线AB的斜率k0时，设直线AB的方程为yk（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与椭圆C：，消去y可得：（34k2）x2-8k2x4k2-120，则，则弦长，设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立直线PQ与抛物线D：，消去y可得：x2-（4k22）x10，则x3x44k22，由抛物线的定义，弦长|PQ|x3x424k2224（k21），由于ABPQ，则四边形APBQ的面积，令34k2t3，则，即，令，求导可得：，可知x3时，g（x）0，则g（x）单调递增，则g（x）g（3）8，综上可知，当直线AB斜率k0时，四边形APBQ面积有最小值8