1、目标导航1了解几何概型的意义2理解几何概型的特点和计算公式(难点)3会求几何概型的概率(重点)1 新知识预习探究 知识点一几何概型1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何模型2几何概型的概率公式在几何概型中，事件 A 的概率计算公式为P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.【思考】几何概型有何特点？解析：几何概型的特点有：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.知识点二均匀分布 当 X 为区间a，b上的任意实数，并且
2、是等可能的，我们称 X 服从a，b上的均匀分布，X 为a，b上的均匀随机数【练习】X 服从3,40上的均匀分布，则 X 的值不能等于()A15 B25C35 D45解析：由于 X3,40，则 3X40，则 X45.故选 D.答案：D2 新视点名师博客 古典概型和几何概型的异同如表所示：名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等基本事件有限个基本事件无限个P(A)0A 为不可能事件P(A)0A 为不可能事件不同点P(B)1B 为必然事件P(B)1B 为必然事件因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是：(1)确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是否均等，如果不
3、均等，那么既不属于古典概型也不属于几何概型；(2)如果试验中每个结果出现的可能性是均等的，再判断试验结果的有限性当试验结果有有限个时，这个概率模型属于古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型.3 新课堂互动探究考点一与长度有关的几何概型 例 1 某公共汽车站，每隔 15 分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠 3 分钟(1)求乘客到站候车时间大于 10 分钟的概率；(2)求候车时间不超过 10 分钟的概率；(3)求乘客到达车站立即上车的概率思维启迪：分析概率模型 得其为几何概型 结果解析：(1)如下图所示，设相邻两班车的发车时刻为 T1、T2，T1T215.设 T0T23，TT
4、010，记“乘客到站候车时间大于 10 分钟”为事件 A.则当乘客到站时刻 t 落到 T1T 上时，事件 A 发生T1T153102，T1T215，P(A)T1TT1T2 215.(2)如图所示，当 t 落在 TT2 上时，候车时间不超过 10 分钟，故所求概率 P TT2T1T21315.(3)如上图所示，当 t 落在 T0T2 上时，乘客立即上车，故所求概率PT0T2T1T2 31515.点评：对于一个实际问题能否用几何模型的概率公式求解的关键是将问题几何化，本例设参数 x 表示时间，转化为用数轴上的线段(几何图形)来表示，用区间长度作为几何度量变式探究 1(1)在区间1,2上随机取一个数
5、 x，则 x0,1的概率为_(2)在区间1,1上随机取一个数 x，cosx2 的值介于 0 到12之间的概率为()A.13 B.2C.12D.2313A解析：(1)区间1,2的区间长度为 3，随机数 x 的取值区间0,1的区间长度为 1.由几何概型知 x0,1的概率为13.(2)在区间1,1上随机取一个数 x，即 x1,1时，要使 cosx2 的值介于 0 到12之间，需使2x2 3或3x2 2，所以1x23或23x1，区间长度为23，由几何概型知 cosx2 的值介于 0 到12之间的概率为23213，故选 A.考点二与角度有关的几何概型例 2 如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，过直角
6、顶点 C 在ACB 内部作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M.求 AMAC 的概率思维启迪：由题目可获取以下主要信息：ABC 为等腰直角三角形；过直角顶点 C 在ACB 内部作射线 CM，交 AB 于点 M；求 AMAC 的概率解答本题可先找到 AMAC 时ACM 的度数，再找出相应的区域角，利用几何概型的概率公式求解即可解析：在 AB 上取 ACAC，则ACC18045267.5.设 A在ACB 内部作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，AMAC则所有可能结果的区域角度为 90，事件 A 的区域角度为 67.5，P(A)67.590 34.点评：在解答本题的过程中，易出现用线段来
7、代替角度作为区域度量来计算概率的错误，导致该种错误的原因是忽视了基本事件的形成过程变式探究 2 如图所示，在圆心角为 90的扇形中，以圆心 O 为起点作射线 OC，求AOC 和BOC 都不小于 30的概率解析：设事件 A 为“AOC 和BOC 都不小于 30”，则事件 A 表示的区域角度为 30，所有可能结果的区域角度为 90，所以 P(A)309013.考点三与面积有关的几何概型例 3 设点 M(x，y)在|x|1，|y|1 时按均匀分布出现，试求满足：(1)xy0 的概率；(2)xy1 的概率；(3)x2y21 的概率思维启迪：利用平面直角坐标系化归为平面点集求解解析：如图所示，满足|x|
8、1，|y|1 的点组成一个边长为 2 的正方形ABCD，则 S 正方形 ABCD4.(1)方程 xy0 的图象是直线 AC，满足 xy0 的点在 AC 的右上方，即在ACD 内(含边界)，而 SACD12S 正方形 ABCD2，P(xy0)2412.(2)由图可知 E(0,1)、F(1,0)，则 xy1 的图象是 EF 所在的直线，满足 xy1 的点在直线 EF 的左下方，即在五边形 ABCFE 内(不含边界 EF)，而 S 五边形 ABCFES 正方形 ABCDSEDF41272，P(xy1)S五边形ABCFES正方形ABCD 72478.(3)满足 x2y21 的点是以原点为圆心的单位圆
9、O，SO，P(x2y21)S正方形ABCDSOS正方形ABCD44.点评：本题关键是把满足不等式的点集在坐标平面上找出来，并准确求出相应面积变式探究 3 ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为()A.4 B14C.8 D18解析：长方形面积为 2，以 O 为圆心，1 为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为2，因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为224，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 14.故选 B.答案：B考点四与体积有关的几何概型例 4 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的
10、棱长为 1，在正方体内随机取点 M，求使四棱锥 MABCD 的体积小于16的概率思维启迪：由题目可获取以下主要信息：正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，M 为其内一点；求四棱锥 MABCD 的体积小于16的概率解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型解析：如图，正方体 ABCDA1B1C1D1，设 MABCD 的高为 h，则13SABCDh16，又 SABCD1，h12，即点 M 在正方体的下半部分，所求概率 P12V正方体V正方体 12.点评：这是一道与体积有关的几何概型题，事件的全部结果对应的区域就是棱长为 1 的正方体，所求事件须满足 VMABCD16，结合体积公式可确定点
11、 M 在正方体内的位置，从而解决问题变式探究 4 在棱长为 3 的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离大于13棱长的概率解析：满足题意的点区域为位于该正方体中心的一个棱长为 1的小正方体，如图所示由几何概型可得满足题意的概率为 P1333127.4新思维随堂自测1.如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A14 B.21C22D.4解析：由题设可知，矩形 ABCD 的面积为 2，曲边形 DEBF 的面积为
12、22，故所求概率为222 14.答案：A2.如图，在平面直角坐标系中，射线 OT 为 60角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在xOT 内的概率是()A.16 B.23C.13 D.160解析：因为在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在xOT内对应的角度为 60 度，而整个角集合对应的角度为圆周角，该角终边落在xOT 内的概率 P 6036016，故选 A.答案：A3如图，边长为 2 的正三角形 ABC 内接于圆 O，在圆 O 内随机撒一把豆子，豆子落在正三角形 ABC 内的概率为_解析：因为圆 O 是边长为 2 的正三角形 ABC 的外接圆，则圆 O的半径 R 为23 3，则圆 O 的面积为 R243，SABC122 3 3，所以豆子落在正三角形 ABC 内的概率 P 3433 34.答案：3 344有一杯 3 升的水，其中有一个细菌，用一个小杯子从这杯子水中取出 0.3 升水，则小杯子水中含细菌的概率为_解析：由题意知，所求概率为 P0.33 0.1答案：0.15设 A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，求弦长超过半径的概率解：如图所示，图中 ABACOB(半径)，则弦长超过半径，即是动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上，由几何概型的概率计算公式，得P240OB1802OB 23.