1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修3 第三章 概率成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 概率 第三章 第三章 概率成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 3.3 几何概型第三章 3.3.1 几何概型第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 高 效 课 堂 2课 时 作 业 4优 效 预 习 1当 堂 检 测 3第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 优 效 预 习第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 1下列试验中
2、是古典概型的有()A种下一粒大豆观察它是否发芽B从规格直径为(2500.6)mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC抛一枚硬币，观察其出现正面或反面的情况D某人射击中靶或不中靶答案 C知识衔接第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 2掷一枚均匀的硬币两次，事件 M：一次正面向上，一次反面向上；事件 N：至少一次正面向上，则下列结果正确的是()AP(M)13，P(N)12 BP(M)12，P(N)12CP(M)13，P(N)34 DP(M)12，P(N)34答案 D解析 基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)P(M)12，P(N)
3、34.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 3打开Excel软件，选定A1格，键入“RANDBETWEEN_”，按Enter键，则在此格中的数是从整数a到整数b的取整数值的随机数答案(a，b)第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 4抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1、2、3、4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为 x、y，则xy为整数的概率是_答案 12解析 所有结果共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，
4、(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共 16 种能使xy为整数的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)8 种，xy为整数的概率为 81612.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 1几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(面积或体积)成_，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何模型归纳总结 几何概型的两个特点，一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的自主预习长度比
5、例第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 (2)计算公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式是：P(A)_.破疑点 几何概型的概率计算公式中的“长度”并不是实际意义上的长度，它的意义取决于试验的全部结果构成的区域，当区域分别是线段、平面图形和几何体时，相应的“长度”分别是线段的长度、平面图形的面积和几何体的体积构成事件A的区域长度或面积或体积试验的全部结果构成的区域长度或面积或体积第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 2均匀分布当X为区间a，b上的任意实数，并且是_的，我们称X服从a，b上的均匀分布，X为a，
6、b上的均匀_3几何概型与古典概型的异同概率类型不同点相同点几何概型试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个每个基本事件出现的可能性一样，即满足等可能性古典概型 试验中的所有可能出现的结果只有有限个等可能随机数第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 1下列概率模型中，是几何概型的有()从区间10,10内任取出一个数，求取到1的概率；从区间10,10内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间10,10内任取出一个数，求取到大于1而小于2的数的概率；向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率A1个 B2
7、个C3个D4个预习自测第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 答案 C探究 判断一个概率模型是否为几何模型，关键是看它是否具备几何概型的两个特点解析 中的概率模型不是几何概型，因为虽然区间10,10有无限多个点，但取到1只是1个数字不能构成区域；中的概率模型是几何模型；中的概率模型是几何概型；中的概率模型是几何概型第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 2一个红绿灯路口，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 45 秒当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是()A.112B.38C.11
8、6D.56答案 C解析 设看到黄灯亮为事件 A，构成事件 A 的“长度”等于5，试验的全部结果所构成的区域长度是 3054580，所以 P(A)580 116.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 3X服从3,40上的均匀分布，则X的值不能等于()A15B25C35D45答案 D解析 由于X3,40，则3X40，则X45.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 4如图所示，在平面直角坐标系中，射线 OT 为 60角的终边，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在xOT 内的概率是()A.16B.13C.14D.
9、160答案 A第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 以 O 为起点作射线，设为 OA，则射线 OA 落在任何位置都是等可能的，落在BOT 内的概率只与BOT 的大小有关，符合几何概型的条件设事件“射线 OA 落在锐角BOT 内”，其几何度量是 60，全体基本事件的度量是 360，由几何概型概率计算公式，可得 P(A)6036016.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 高 效 课 堂第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 如图所示，A，B两盏路灯之间长度是30
10、米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C，D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？探究 在A，B之间每一位置处安装路灯C，D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型的条件与长度有关的几何概型互动探究第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米”，把 AB 三等分，由于中间长度为 301310(米)，P(E)103013.求解几何概型的概率关键是将所有基本事件及事件 A 包含的基本事件转化为
11、相应长度，进而求解第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 规律总结 与长度有关的几何概型问题综述：(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 (3)几何概型的计算步骤：判断是否为几何概
12、型；确定并计算基本事件空间；计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量；代入公式计算(4)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 特别提醒 解几何概型问题时，常常需要寻找不等关系要找不等关系，先找等量关系，再借助图形分析寻找不等关系第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 (1)(2013湖北)在区间2,4上随机地
13、取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为56，则 m_.(2)(2012辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为()A.16B.13C.23D.45第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 答案(1)3(2)C解析(1)由几何概型如：56m26m3.(2)设其中一段 AC 长为 x cm，则另一段 BC 长为(12x)cm，其中 0 x12 cm.由题意 x(12x)320 x4 或 8x12，则点 C 的选取的长度为 448(cm)，故概率
14、为 81223.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 与面积有关的几何概型问题(2013陕西)如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A14B.21C22D.4第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 探究 将两个四分之一圆补成半圆求出面积，除以矩形的面积即得概率解析 由题意知，将两个四分之一圆补成半圆其面积为12122，矩形面
15、积为 2，则所求概率为222 14.答案 C第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 规律总结 与面积有关的几何概型问题解法：(1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(2)解几何概型问题的关键点：根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 (2012湖北)如图，在圆心角为直角的扇形
16、OAB 中，分别以OA、OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A12 B.121C.2 D.1答案 A第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 探究 符合几何概型 阴影部分的面积与扇形OAB的面积之比即为所求概率.解析 解题关键是求出空白部分的面积，用几何概型求解解析一：设分别以OA、OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC，不妨令OAOB2，则ODDADC1.在以 OA 为直径的半圆中，空白部分面积 S14121141211 1，所以整体图形中空白部分面积 S22.又因为 S 扇形
17、OAB1422，所以阴影部分面积为 S32.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 所以 PS3S扇形OAB2 12.解析二：连接 AB，由 S 弓形 ACS 弓形 BCS 弓形 OC 可求出空白部分面积如图，连接 AB，由题意知 CAB 且 S 弓形 ACS 弓形 BCS 弓形 OC，所以 S 空白SOAB12222.又因为 S 扇形 OAB1422，所以 S 阴影2.所以 P S阴影S扇形OAB2 12.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 规律总结 此类几何概型问题，关键是构造出随机事件对应的几何图形，
18、利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 一个多面体的直观图和三视图如下图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为()与体积有关的几何概型的求法A.34B.23C.12D.13第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 由三视图可知 DA，DC，DF 两两垂直，且 DADCDFa，VFAMCD13S 梯形 AMCDDF14a3.又 VADFBCE12a3，蜻蜓飞入几何体
19、FAMCD 内的概率为 PVFAMCDVADFBCE12.答案 C第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 规律总结 体积型几何概型问题解法探秘：1如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体 积 及 事 件 A 占 的 体 积 其 概 率 的 计 算 公 式 为：P(A)构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.2解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学
20、必修3 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机取一点 M，求使四棱锥 MABCD 的体积不超过16(事件 A)的概率探究 第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 设 M 到平面 ABCD 的距离为 h，则 VMABCD13S底ABCDh16.又 S 底 ABCD1，所以只要 h12即可所有满足 h12的点组成以四边形 ABCD 为底面，12为高的长方体，其体积为12.又正方体的体积为 1，所以使四棱锥 MABCD 的体积不超过16(事件 A)的概率为 P(A)12112.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程
21、学习指导 人教A版 数学 必修3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去求两人能会面的概率几何概型的综合应用探索延拓第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 探究 1.已知甲、乙两人约定在6时到7时之间会面，先到者等候另一人一刻钟再离去，故存在两个随机变量，即两人到达的时刻是随机的，这是一个测度为面积的二维几何概型，要求的是两人能会面的概率2设甲、乙两人到达的时刻分别为x，y，把x，y所满足的关系表示的区域找出来，再把所求事件表示的区域找出来，分别计算面积第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习
22、指导 人教A版 数学 必修3 解析 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的条件是|xy|15.在如图所示的平面直角坐标系下(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中阴影部分表示由几何概型的概率公式得P(A)SAS 602452602360020253600 716.所以两人能会面的概率是 716.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 总结归纳(1)本题的难点是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间这一一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，
23、转化成面积型几何概型问题(2)“面积比”求几何概型的概率是常见题型，通常利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 把长度为1的线段随机分为三段，求这三段能构成三角形的概率 解析 设分得的两段长分别为 x，y，则 第 三 段 长 为1 x y，需 满 足0 x1，0y1，01xy1xy，1xx，1yy，设它表示的平面区域为 A，即图中阴影区域，则能构成三角形的概率为121212121114.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部任
24、作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|AC|的概率误区警示错解 在 AB 上取点 C，使 ACAC.在ACB 内作射线 CM 看作在线段 AC上任取一点 M，过 C、M 作射线 CM，则概率为ACABACAB 22.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 错因分析 虽然在线段AC上任取一点M是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，尽管点与射线是一一对应的，因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性正解 在ACB 内的射线 CM 是均匀分布的，所以射线 CM在任
25、何位置都是等可能的在 AB 上取 ACAC，则ACC67.5，故满足条件的概率为67.590 0.75.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 点评 如图在角 AOB 内任意作射线，则射线落在BOR 内的概率是一定的，但CMAC，DRAD，BNBE的值是变化的第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 向面积为 S 的矩形 ABCD 内任投一点 P，试求PBC 的面积小于S4的概率错解 如图 1 所示，设PBC 的边 BC 上的高为 PF，线段PF 所在的直线交 AD 于 E，则当 P 点到底边 BC 的距离小于1
26、2EF时，即 0PF12EF，有 012BCPF14BCEF，则 0SPBCS4.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 设“PBC 的面积小于S4”为事件 A，则 A 表示的范围是(0，S4)，所以由几何概型求概率的公式得 P(A)S4S14.所以PBC 的面积小于S4的概率是14.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 错因分析 如图 2 所示，P 为矩形 ABCD 内任意点，PBC的边 BC 上的高 PF 为矩形 ABCD 内任意线段，但应满足PBC的面积小于S4.当PBC 的面积等于S4时，即12BCP
27、F14BCEF，所以 PF12EF.过点 P 作 GH 平行于 BC 交 AB 于 G，交 CD 于 H.点P 的轨迹是线段 GH，满足条件“PBC 的面积小于S4”的点 P 应落在矩形区域 GBCH 内，而不是三角形区域 PBC 内出错的原因是不能正确构造出随机事件对应的几何图形第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 正解 如图所示，设PBC 的边 BC 上的高为 PF，线段 PF所在的直线交 AD 于 E，当PBC 的面积等于S4时，即12BCPF14BCEF，有 PF12EF.过点 P 作 GH 平行于 BC 交 AB 于 G，交 CD于 H.第
28、三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 则满足 SPBCS4的点 P 的轨迹是线段 GH.所以满足条件“PBC 的面积小于S4”的点 P 应落在矩形区域 GBCH 内，设“PBC 的面积小于S4”为事件 A，则 A 表示的范围是(0，S2)所以由几何概型求概率的公式，得 P(A)S2S12.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 当 堂 检 测第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 1在区间(10,20)内的所有实数中，随机取一个实数 a，则这个实数 a13 的概率是()
29、A.13 B.17C.310D.710答案 C解析 要使实数 a13，则要 a(10,13)，实数 a13 的概率为 P13102010 310.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 2(2015济南市高一数学月考)在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 P，并以线段 AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2 与 49 cm2 之间的概率为()A.310B.15C.25D.45答案 B解析 在线段 AB 上任取一点 P，事件“正方形的面积介于25 cm2 与 49 cm2 之间”等价于事件“5|AP|7”，则所求概率为7510 15
30、.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 3(2011湖南)如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗粒子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，则 P(A)()A.4B.1C2 D.2答案 D第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 豆子落在正方形 EFGH 内是随机的，故可以认为豆子落在正方形 EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型因为圆的半径为 1，所以正方形 EFGH 的边长是 2，则正方形 EFGH的面积是 2，又圆的面积是，所以 P(A)
31、2.故选 D.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 4在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于 1 的概率为()A.16B.8C.4D.2答案 B第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 如图，在等腰直角三角形的直角边 OA、OB 上分别取中点 C、D，则 OC1、OD1，则事件“点到此三角形的直角顶点的距离不大于 1”的概率为：PS扇形CODSRtAOB1412228.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 5在一个大型
32、商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？探究 因为硬币能否完全落入某个方格中，关键看硬币的中心落在方格中的哪个位置，若要使硬币完全落入方格中，则其中心必须距方格的边界至少有一个硬币半径的长度(即1cm)，因此，要使硬币完全落在方格内，硬币的中心必须落在以正方形的中心为中心，以5113(cm)为边长的小正方形表示的区域内。第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 解析 如下图，边长为 5 cm 的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以 3 cm 为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为 P3252 925.第三章 3.3 3.3.1成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修3 课 时 作 业（点此链接）