1、第二讲三角函数的图象与性质题组1三角函数的图象及其变换1.2017全国卷,9,5分理已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x+23),则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线C22.2016全国
2、卷,6,5分将函数y=2sin(2x+6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin(2x+4)B.y=2sin(2x+3) C.y=2sin(2x-4)D.y=2sin(2x-3)3.2016全国卷,3,5分 函数y=Asin(x+)的部分图象如图4-2-1所示,则 ()图4-2-1A.y=2sin(2x-6) B.y=2sin(2x-3) C.y=2sin(x+6) D.y=2sin(x+3)4.2016北京,7,5分理将函数y=sin(2x-3)图象上的点P(4,t)向左平移s(s0)个单位长度得到点P.若P位于函数y=sin 2x的图象上,则()A.t=12,
3、s的最小值为6 B.t=32,s的最小值为6C.t=12,s的最小值为3 D.t=32,s的最小值为35.2015湖南,9,5分理将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移(00,-22)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到y=sin x的图象,则 f(6)=.7.2017山东,16,12分理设函数f(x)=sin(x-6)+sin(x-2),其中00,|0,|2),x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(18,536)单调,则的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.510.2016山东,7,5分理函数f(x)=(3
4、sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是()A.2 B. C.32 D.211.2015新课标全国,8,5分理函数f(x)=cos(x+)(0)的部分图象如图4-2-2所示,则f(x)的单调递减区间为()图4-2-2A.(k-14,k+34),kZ B.(2k-14,2k+34),kZ C.(k-14,k+34),kZ D.(2k-14,2k+34),kZ12.2015四川,4,5分理下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()A.y=cos(2x+2) B.y=sin(2x+2)C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x13.201
5、5湖南,15,5分已知0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则=.14.2017浙江,18,14分已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).()求f(23)的值;()求f(x)的最小正周期及单调递增区间.A组基础题1.2018合肥市高三调研,8已知函数f(x)=sin(x+6)的图象向右平移3个单位长度后,所得的图象关于y轴对称,则的最小正值为()A.1 B.2 C.3 D.42.2018郑州一中高三入学测试,4将函数f(x)的图象向左平移6个单位长度后得到函数g(x)的图象如图4-2-3所示,则函数f(x
6、)的解析式是()图4-2-3A.f(x)=sin(2x-6)(xR) B.f(x)=sin(2x+6)(xR)C.f(x)=sin(2x-3)(xR) D.f(x)=sin(2x+3)(xR)3.2018辽宁省五校联考,7已知函数f(x)=4cos(x+)(0,00,00,0,|2 )的部分图象如图4-2-4所示,若方程f(x)=a在-4 ,2上有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()图4-2-4A.22,2) B.-22,2) C.-62,2)D.62,2)9.2018湖北省部分重点中学高三起点考试,12已知函数f(x)=2sin(x+)(0,|0,0,|0,|0)的最小正周期为.(1)求
7、函数y=f(x)图象的对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在0,2上的单调性.答案1.D易知曲线C1:y=cos x=sin(x+2),把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=sin(2x+2)的图象,再把所得函数的图象向左平移12个单位长度,可得函数y=sin2(x+12)+2=sin(2x+23)的图象,即曲线C2,故选D.2.D函数y=2sin(2x+6)的周期为,所以将函数y=2sin(2x+6)的图象向右平移4个单位长度后,得到函数图象对应的解析式为y=2sin2(x-4)+6=2sin(2x-3).故选D.3.A由图易知A=2,因为周期T满足T2=3-(
8、-6),所以T=,由选项可令0,则=2T=2.由x=3时,y=2可知23+=2+2k(kZ),所以=-6+2k(kZ),结合选项可知函数解析式为y=2sin(2x-6).故选A.4.A因为点P(4,t)在函数y=sin(2x-3)的图象上,所以t=sin(24-3)=sin6=12.又P(4-s,12)在函数y=sin 2x的图象上,所以12=sin 2(4-s),则2(4-s)=2k+6或2(4-s)=2k+56,kZ,得s=-k+6或s=-k-6,kZ.又s0,故s的最小值为6.故选A.5.D由已知得g(x)=sin(2x-2),若满足|f(x1)-g(x2)|=2,不妨设此时y=f(x)
9、和y=g(x)分别取得最大值与最小值,又|x1-x2|min=3,令2x1=2,2x2-2=-2,此时|x1-x2|=|2-|=3,又02,故=6,故选D.6.22 把函数y=sin x的图象向左平移6个单位长度得到y=sin(x+6)的图象,再把函数y=sin(x+6)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数f(x)=sin(12x+6)的图象,所以f(6)=sin(126+6)=sin 4=22.7.()因为f(x)=sin(x-6)+sin(x-2),所以f(x)=32sin x-12cos x-cos x=32sin x-32cos x=3(12sin x-32cos
10、 x)=3sin(x-3).由题设知f(6)=0,所以6-3=k,kZ.故=6k+2,kZ,又02,所以01,所以=23,又|,将=23代入得=12.故选A.9.B因为x=-4为函数f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,所以4-(-4)=2=kT2+T4(kZ,T为周期),化简得T=22k+1(kZ).又f(x)在(18,536)上单调,所以T2536-18,即T6,k112.当k=5时,=11,=-4,f(x)在(18,536)上不单调;当k=4时,=9,=4,f(x)在(18,536)上单调,满足题意,故的最大值为9.故选B.10.B解法一由题意得f(x)=3sin xcos
11、x-3sin2x+3cos2x-sin xcos x=sin 2x+3cos 2x=2sin(2x+3).故该函数的最小正周期T=22=.故选B.解法二由题意得f(x)=2sin(x+6)2cos(x+6)=2sin(2x+3).故该函数的最小正周期T=22=.故选B.11.D由题图知,函数f(x)的最小正周期T=(54-14)2=2,所以=,又(14,0)可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点,所以cos(4+)=0,4+=2,解得=4,所以f(x)=cos(x+4),所以由2kx+42k+,kZ,解得2k-14x0,|0,0)为奇函数,所以f(0)=0,即cos =0(00,00,02得
12、=10,=6.故选B.6.D将函数f(x)=sin 2x+3cos 2x=2sin(2x+3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得y=2sin(x+3)的图象,再将图象上所有点向右平移6个单位长度,得g(x)=2sin(x-6)+3=2sin(x+6)的图象.令x+6=2+k(kZ),得x=3+k(kZ),当k=0时,x=3,所以g(x)图象的一条对称轴方程是x=3,故选D.B组提升题7.A由题意可得3+=2+2k,kZ,即=6+2k,kZ,所以y=cos(2x+)=cos(2x+6+2k)=cos(2x+6),kZ.当x=6时,cos(26+6)=cos2=0,所以函数y=cos(2x+
13、)的图象关于点(6,0)对称,不关于直线x=6对称,故A正确,C错误;当x=3时,cos(23+6)=cos56=-32,所以函数y=cos(2x+)的图象不关于点(3,0)对称,也不关于直线x=3对称,故B,D错误.选A.8.B由题中函数f(x)的部分图象可得,函数f(x)的最小正周期为,最小值为-2,所以A=2,=2,所以f(x)=2sin(2x+),将点(712,-2)代入f(x)=2sin(2x+),得sin(76+)=-1,因为|2,所以=3,所以f(x)=2sin(2x+3).若f(x)=a在-4,2上有两个不相等的实数根,即在-4,2上,函数f(x)的图象与直线y=a有两个不同的
14、交点,结合图象(图略),得-22a0,|2)的图象经过点B(0,-3),f(0)=2sin =-3sin =-32,又|2,=-3.f(x)的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合,且函数f(x)在(18,3)上单调,函数f(x)的最小正周期T=,=2T=2,函数f(x)=2sin(2x-3).令2x-3=k+2(kZ),得x=k2+512(kZ),函数f(x)=2sin(2x-3)的对称轴为直线x=512+k2(kZ),当-43x-23时,函数f(x)的对称轴为直线x=-32+512=-1312,当x1,x2分别在直线x=-1312两侧时,存在x1x2,使f(x1)=f(x2),此时x1+
15、x2=2(-1312)=-136,f(x1+x2)=f(-136)=2sin2(-136)-3=2sin(-143)=2sin(-23)=-232=-3,故选A.10.D由题意得A=3,T=,=2.f(x)=3sin(2x+),又f(6)=3或f(6)=-3, 26+=k+2,kZ,=6+k,kZ,又|2,=6,f(x)=3sin(2x+6).令2+2k2x+632+2k,kZ,得6+kx23+k,kZ,故当k=-1时,函数f(x)的单调递减区间为-56,-3,故选D.11.A解法一设函数f(x)的最小正周期为T,根据相邻最高点与最低点的横坐标的关系,有T2=-6-(-23)=2,T=,|=2
16、=2.又由三角函数图象最高点的纵坐标为3,得A=3,f(x)=3sin(2x+)或f(x)=3sin(-2x+).将点(-6,3)代入函数f(x)=3sin(2x+)中,得3sin2(-6)+=3,解得-3=2k+2(kZ),即=2k+56(kZ),而|2,无解;将点(-6,3)代入函数f(x)=3sin(-2x+)中,得3sin-2(-6)+=3,解得+3=2k+2(kZ),即=2k+6(kZ),又|2,=6,即f(x)=3sin(-2x+6).故选A.解法二将x=-6代入函数f(x)=3sin(-2x+6)中,得f(x)=3,即点(-6,3)在函数f(x)=3sin(-2x+6)的图象上;
17、将x=-6代入函数f(x)=3sin(2x-6)中,得f(x)=-3,即点(-6,3)不在函数f(x)=3sin(2x-6)的图象上;将x=-6代入函数f(x)=3sin(-2x+3)中,得f(x)=332,即点(-6,3)不在函数f(x)=3sin(-2x+3)的图象上;将x=-6代入函数f(x)=3sin(2x-3)中,得f(x)=-332,即点(-6,3)不在函数f(x)=3sin(2x-3)的图象上.故选A.12.(1)f(x)=sin x-cos x=2sin(x-4),且T=,=2.f(x)=2sin(2x-4).令2x-4=k+2(kZ),得x=k2+38(kZ),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=k2+38(kZ).(2)令2k-22x-42k+2(kZ),得函数f(x)的单调递增区间为k-8,k+38(kZ).又x0,2,令k=0,得函数f(x)在0,2上的单调递增区间为0,38;同理,其单调递减区间为38,2.
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