1、第1节弧度制与任意角的三角函数考试要求1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1.角的概念的推广(1)正角、负角和零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角.(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.(3)终边相同的角：与角的终边相同的角的集合为|k360
2、，kZ.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算3602 rad；1 rad0.01 745 rad；1 rad度57.30弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r0).则sin ，cos ，tan (x0).三个三角函数的定义域及各三角函数值在各象限的符号如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan |k，kZ|4.三角函数
3、线如图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线常用结论与微点提醒1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若，则tan sin .3.角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.4.区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等.诊 断 自 测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“”或“”)(1
4、)小于90的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.()解析(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P180T3改编)已知角的终边过点P(12，m)，cos ，则m的值为()A.5 B.5 C.5 D.8解析由三角函数的定义可知cos ，解得m5.答案C3.(教材必修4P6例1改编)在7200范围内，所有与角45终边相同的角构成的集合为_.解析所有与角终边相同的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k36
5、00(kZ)，得765k36045(kZ).解得k2或k1，675或315.答案675，3154.(2020唐山模拟)已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点A(2sin ，3)(sin 0)，则cos ()A. B. C. D.解析由三角函数定义得tan ，即，得3cos 2sin22(1cos2)，解得cos 或cos 2(舍去).故选A.答案A5.(2020盐城一模)若sin 0，则角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析1cos 1，且sin(cos )0，0cos 1，又sin 0，角为第四象限角，故选D.答案D6.(2019日照一中质检
6、)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为_.解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，所以.答案考点一角的集合表示及象限角的判定【例1】 (1)设集合M，N，那么()A.MN B.MNC.NM D.MN(2)若角是第二象限角，则是第_象限角.(3)终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_.解析(1)由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN.(2)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角.(3)终边
7、在直线yx上的角的集合为，又由2，2)，即2k2，解得k2，1，0，1，故满足条件的角构成的集合为.答案(1)B(2)一或三(3)规律方法1.确定k，(kN*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出k或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在位置.2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.【训练1】 (1)下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k45(kZ) B.k360(kZ)C.k360315(kZ) D.k(kZ)(2)已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(
8、不包括边界)，则角用集合可表示为_.解析(1)与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B，易知D错误，C正确.(2)在0，2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以，所求角的集合为.答案(1)C(2)|2k0且a1)的图象过定点P，且角的终边过点P，则sin cos 的值为()A. B. C. D.解析因为函数yloga(x3)2的图象过定点P(4，2)，且角的终边过点P，设P(x，y)，所以x4，y2，r2，所以sin ，cos ，所以sin cos .故选D.答案D角度2由三角函数值求角或参数【例32】 (1)(2019北师大附中期中考试)在平面直角坐标系中
9、，角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边经过点M，且02，则()A. B. C. D.(2)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A. B. C. D.解析(1)因为角的终边经过点M，且00，解得m.答案(1)D(2)C角度3三角函数值的符号【例33】 (1)使lg(sin cos )有意义的为()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m0)，则下列各式的值一定为负的是()A.sin cos B.sin cos C.sin cos D.解析(1)由题意
10、知sin cos 0且cos 0，由sin cos 0，知为第一、三象限角，又由cos 0，即cos 0知为第二、三象限角或在x轴的负半轴上，所以可知为第三象限角.故选C.(2)由已知得r|OP|，则sin 0，cos 0，tan m0，sin cos 的符号不确定，sin cos 0，sin cos 0，cos 0.故选CD.答案(1)C(2)CD规律方法1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，
11、关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练3】 (1)(角度1)(2020荆门龙泉中学月考)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边上有一点(3a，4a)(a0)，则sin 2()A. B. C. D.(2)(角度2)已知角的终边经过点P(4，m)，且sin ，则m等于()A.3 B.3 C. D.3(3)(角度3)若sin tan 0，且0时，sin ，cos ，则sin 22sin cos ；当a0，解得m3.(3)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限
12、角；由0可知cos ，tan 异号，则为第三或第四象限角.综上可知，为第三象限角.答案(1)A(2)B(3)CA级基础巩固一、选择题1.(多选题)下列四个命题正确的是()A.是第二象限角B.是第三象限角C.400是第四象限角D.315是第一象限角解析是第三象限角，故A错误.，从而是第三象限角，B正确.40036040，从而C正确.31536045，从而D正确.答案BCD2.若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由sin 0，可知的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合.由tan 0，可知的终边可能位于
13、第二象限或第四象限，故的终边只能位于第四象限.答案D3.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A.2 B.4 C.6 D.8解析设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2|r24r2，解得r1，lr4，所以所求扇形的周长为2rl6.答案C4.若角与的终边关于x轴对称，则有()A.90B.90k360，kZC.2k180，kZD.180k360，kZ解析因为与的终边关于x轴对称，所以2k180，kZ.所以2k180，kZ.答案C5.已知角的终边经过点(，)，若，则m的值为()A.27 B. C.9 D.解析tan m，m13327，m，故选B.答案B6.已知角的顶
14、点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()A. B. C. D.解析由题意知，tan 2，即sin 2cos .将其代入sin2cos21中可得cos2，故cos 22cos21.答案B7.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析当k2n(nZ)时，2n2n，此时角的终边在第一象限；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时角的终边在第三象限，结合图象知选C.答案C8.已知点P在角的终边上，且0，2)，则的值为()A. B. C. D.解析因为点P在第四象限，根据三角函数的定义可知tan ，又0，2)，可得.答案C二、填空题9.若1 560，角与终边相同，且360
15、0，则实数a的取值范围是_.解析cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.2a3.答案(2，3B级能力提升13.已知点P(sin xcos x，3)在第三象限，则x所在的可能区间是()A. B.C. D.解析由已知，点P(sin xcos x，3)在第三象限，可得sin xcos x0，即sin xcos x，所以2kx2k，kZ.当k0时，x所在的一个区间是.答案D14.(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，则|ab|()A. B. C. D.1解析由题意可知tan ba，又cos 2cos
16、2sin2，5(ba)21，得(ba)2，则|ba|.答案B15.(2020菏泽模拟)已知角的终边经过点P(4a，3a)(a0)，则25sin 7tan 2的值为_.解析因为角的终边经过点P(4a，3a)(a0)，所以x4a，y3a，r5a，所以sin ，tan ，所以tan 2，所以25sin 7tan 225739.答案3916.(2019徐州期中)如图，在RtPBO中，PBO90，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点.若圆弧AB等分POB的面积，且AOB弧度，则_.解析设扇形的半径为r，则扇形的面积为r2，在RtPOB中，PBrtan ，则POB的面积为rrtan ，由题意得rrta
17、n 2r2，即tan 2，所以.答案C级创新猜想17.(多选题)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，BOA60，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则()A.经过1 s后，BOA的弧度数为3B.经过 s后，扇形AOB的弧长为C.经过 s后，扇形AOB的面积为D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇解析经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时BOA的弧度数为3，故A正确；经过 s后，AOB2，故扇形AOB的弧长为1，故B正确；经过 s后，AOB2，故扇形AOB的面积为S12，故C不正确；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(12)2，解得t s，故D正确.答案ABD18.(多填题)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d_(其中t0，60)；d的最大值为_cm.解析根据题意，得AOB2，故d25sin10sin(t0，60).t0，60，0，当t30时，d最大为10 cm.答案10sin10