1、6.2.4向量的数量积学 习 任 务核 心 素 养1平面向量的数量积(重点)2投影向量的概念(难点)3向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)1通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养2通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为问题：该大力士所做的功是多少？知识点1向量的数量积1两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角(2)特例：当0时，向量a，b同向当时，向量a，b反向当时，向量a，b垂
2、直，记作ab2平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos 规定：零向量与任一向量的数量积为03投影向量设a，b是两个非零向量，a，b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量1(1)等边ABC中，向量，所成的角是60吗？(2)向量夹角的范围与两直线所成的角的范围相同吗？(3)向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？提示(1)不是，向量，所成的角是120(2)向量的夹角和两直线的夹角范围是不同
3、的，它们分别是0，和(3)两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若ab0，则a0或b0()(2)若a0，则0或a0()(3)若a2b2，则ab或ab()(4)若abac，则bc()答案(1)(2)(3)(4)2已知单位向量a，b，夹角为60，则ab()ABC1DAab11cos 603已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A B C DC由条件可知，cos ，又0，知识点2向量数量积的性质及运算律1向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea|a|co
4、s (2)abab0(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|特别地，aa|a|2或|a|(4)|ab|a|b|2向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc2a(bc)(ab)c成立吗？提示(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立4(多选题)下列命题正确的是()A0a0B若a0，则对任一非零向量b都有ab0C若ab0，则a与b中至少有一个为0D若a与b是两个单位向量，则a2b2ADA正确，因为0的长度为0，结
5、合数量积的公式可知0a0B，C错误，当非零向量ab时，有ab0D正确，因为|a|b|1，所以a2|a|21，b2|b|21，故a2b25已知单位向量a与b的夹角为，若x ab与a垂直，则实数x的值为()ABCDB由单位向量a与b的夹角为，可得ab11cos ，若x ab与a垂直，则(x ab)ax a2abx0，解得x 类型1平面向量的数量积运算【例1】(1)(对接教材P17例9)已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)(2)如图，在ABCD中，|4，|3，DAB60，求：；解(1)(a2b)(a3b)aa5ab6bb|a|25ab6|b|2|a|25|a|b|cos
6、 606|b|262564cos 60642192(2)因为，且方向相同，所以与的夹角是0，所以|cos 03319因为与的夹角为60，所以与的夹角为120，所以|cos 120436求平面向量数量积的步骤是什么？提示(1)求a与b的夹角，0，(2)分别求|a|和|b|(3)求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省略1(1)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，求：ab；(2ab)(a3b)(2)设正三角形ABC的边长为，c，a，b，求abbcca解(1)ab|a|b|cos 23cos 603(2ab)(a3b)2a2
7、5ab3b22|a|25ab3|b|2222533324(2)|a|b|c|，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbccacos 12033 类型2与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_(2)已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，求|b|(1)2|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2222222244412，所以|a2b|2(2)解因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以41241|b|b|210，整理得|b|22|b
8、|60，解得|b|或|b|3(舍去)求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等2若向量a，b的夹角为120，|a|1，|a2b|，则|b|()ABC1D2C设向量a，b的夹角为，因为|a2b|2|a|24|b|24|a|b|cos ，又120，|a|1，|a2b|，所以714|b|22|b|，解得|b|(舍去)或|b|1故选C 类型3与向量垂直、夹角有
9、关的问题【例3】(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_(2)已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？提示abab02|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？提示|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos 两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|当且仅当|cos |1，即cos 1，0或时，取“”，所以|ab|a|b|，cos (1)(0,1)(1，)e1ke
10、2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1(2)解由已知条件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos 0，1将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围解e1ke2与ke1e2的夹角为钝角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0当k1时，e1ke2与ke1e2方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去综上，k的取值范围是k0且k12将本例(1)中的条件“锐角”改为“”
11、，求k的值解由已知得|e1ke2|，|ke1e2|，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k，则cos，即，整理得k24k10，解得k21求向量夹角的方法(1)求出ab，|a|，|b|，代入公式cos 求解(2)用同一个量表示ab，|a|，|b|，代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角2要注意夹角的范围0，当cos 0时，；当cos 0时，；当cos 0时，3若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()ABCDA因为(ab)(3a2b)，所以(ab)(3a2b)3a2ab2b20设向量a与b的夹角为，因为|a|b|，所以3|b
12、|2cos 2|b|20因为|b|0，所以cos 20，解得cos 因为0，所以，故选A1在ABCD中，DAB30，则与的夹角为()A30B60C120D150D如图，与的夹角为ABC1502已知|a|3，|b|6，当ab时，ab()A18 B18 C18 D0C当ab时，若a与b同向，则它们的夹角为0，所以ab|a|b|cos 036118；若a与b反向，则它们的夹角为180，所以ab|a|b|cos 18036(1)18故选C3已知平面向量a，b满足a(ab)3且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角为()A B C DC因为a(ab)a2ab42cosa，b3，所以cosa，b，又因为a，b0，所以a，b4已知向量a与b的夹角是，且|a|1，|b|2，若(ab)a，则实数_根据题意得ab|a|b|cos1，因为(ab)a，所以(ab)aa2ab0，所以5已知在ABC中，ABAC4，8，则ABC的形状是_等边三角形因为|cosBAC，即844cosBAC，于是cosBAC，所以BAC60又ABAC，故ABC是等边三角形回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)向量夹角的概念是什么？向量夹角的范围是什么？向量的夹角与两直线的夹角有什么区别？(2)两个向量数量积的定义是什么？如何求两个向量的数量积？(3)向量的数量积有哪些性质和运算律？
