1、2015-2016学年吉林省松原市油田高中高二（下）开学数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设ab0，下列不等式一定成立的是（）Aa2abb2Bb2aba2Ca2b2abDabb2a22设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于（）A22B21C20D133下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B若命题p：xR，x22x10，则命题p：xR，x22x10C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D“x=1”是“x
2、25x6=0”的必要不充分条件4已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）ABCD5已知等差数列an的公差为2，若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（）A4B6C8D106已知命题p：xR，cosx=2；命题q：xR，x2x+10，则下列结论中正确的是（）Apq是假命题Bpq是真命题C（p）（q）是真命题D（p）（q）是真命题7设D为ABC所在平面内一点，则（）ABCD8 =（）ABCD9若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A2BC3D110已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为
3、（1，1），则E的方程为（）ABCD11已知空间四个点A（1，1，1），B（4，0，2），C（3，1，0），D（1，0，4），则直线AD与平面ABC所成的角为（）A30B45C60D9012已知M（x0，y0）是双曲线C： =1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13若且，则实数的值是_14若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是_15在ABC中，a=3，b=，A=，则B=_16已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为_三、解答题：（本大题共4小题，共36
4、分，其中17、18题各8分，19、20题各10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，（1）若ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求ABC的面积18等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（）求数列an的通项公式；（）设bn=2+n，求b1+b2+b3+b10的值19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD（）证明：PABD；（）若PD=AD，求二面角APBC的余弦值20椭圆=1（ab0）的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2（） 求
5、椭圆的方程；（） 过点M（0，1）作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足=，求直线l的方程2015-2016学年吉林省松原市油田高中高二（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设ab0，下列不等式一定成立的是（）Aa2abb2Bb2aba2Ca2b2abDabb2a2【考点】不等式的基本性质【分析】利用不等式的基本性质即可得出【解答】解：ab0，a2ab，abb2，即a2abb2，故选：B2设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于（）A22
6、B21C20D13【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知条件，利用|PF1|+|PF2|=2a，能求出结果【解答】解：P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，|PF2|=2|PF1|=264=22故选A3下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B若命题p：xR，x22x10，则命题p：xR，x22x10C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件【考点】四种命题【分析】A，写出它的否命题，即可判定真假；B，写出命题p的否定p；C，判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真
7、假性；D，由“x=1”得出“x25x6=0”成立，判定命题是否正确【解答】解：对于A，否命题是“若x21，则x1”，A错误；对于B，命题p的否定p：xR，x22x10，B错误；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题是真命题，C正确；对于D，“x=1”时，“x25x6=0”，是充分条件，D错误；故选：C4已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据已知条件，利用双曲线的焦点坐标，设出双曲线的标准方程，再由双曲线的渐近线方程，求出双曲线的标准方程【解答】解：双曲线的中心
8、为原点，F（3，0）是双曲线的个焦点，设双曲线方程为，a0，是双曲线的一条渐近线，=，解得a2=4，双曲线方程为故选D5已知等差数列an的公差为2，若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（）A4B6C8D10【考点】等差数列的性质【分析】依题意，（a1+2d）2=a1（a1+3d），可求得a1【解答】解：等差数列an的公差d=2，a1，a3和a4成等比数列，（a1+2d）2=a1（a1+3d），a1d+4d2=0，a1=8，故选：C6已知命题p：xR，cosx=2；命题q：xR，x2x+10，则下列结论中正确的是（）Apq是假命题Bpq是真命题C（p）（q）是真命题D（p）（q）是真命题
9、【考点】复合命题的真假【分析】利用余弦函数的性质说明命题p为真命题，利用配方法求得x2x+1的范围，说明命题q为假命题，然后利用符合命题的真值表加以判断即可得到答案【解答】解：由x2x+1=（x）2+0，所以命题q：xR，x2x+10，为真命题；由cosx1，可知命题p：xR，cosx=2是假命题故由以上可知：p是真命题；q是真命题；pq是真命题；命题“pq”是假命题；命题（p）（q）是真命题故选：D7设D为ABC所在平面内一点，则（）ABCD【考点】平行向量与共线向量【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式【解答】解：由已知得到如图由=；故选：A8 =（）ABC
10、D【考点】数列的求和【分析】根据分式的性质，有=（1），=（），=（）成立，则可得原式=（1）+（）+（），化简可得答案【解答】解：原式=（1）+（）+（）= （1）+（）+（）=（1）=；故选A9若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A2BC3D1【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点M（0，1）连线的斜率求得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点M（0，1）连线的斜率，联立，解得A（1，1），的最大值为故选：A10已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1
11、），则E的方程为（）ABCD【考点】椭圆的标准方程【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，利用斜率计算公式可得=于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2进而得到椭圆的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，x1+x2=2，y1+y2=2， =，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9椭圆E的方程为故选D11已知空间四个点A（1，1，1），B（4，0，2），C（3，1，0），D（1，0，4），则直线AD与平面ABC所成的角为（）A3
12、0B45C60D90【考点】直线与平面所成的角【分析】利用已知条件，分别求出向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出结果【解答】解：A（1，1，1），B（4，0，2），C（3，1，0），D（1，0，4），=（2，1，3），（5，1，1），=（4，2，1），设平面ABC的法向量为，则，9x3y=0，令x=1，得y=3，z=2，设直线AD与平面ABC所成的角为，则sin=|cos|=|=，=30故选：A12已知M（x0，y0）是双曲线C： =1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0
13、的取值范围【解答】解：由题意， =（x0，y0）（x0，y0）=x023+y02=3y0210，所以y0故选：A二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13若且，则实数的值是2【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【分析】根据已知求出向量=（，1+，1），再利用向量垂直的条件即可求出的值【解答】解：，=（，1+，1），又，（）=0（，1+，1）（0，1，1）=0即1+1=0=2故答案为：214若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是18【考点】基本不等式【分析】首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一可以猜想到应用基本不
14、等式转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值【解答】解：由条件利用基本不等式可得，令xy=t2，即 t=0，可得即得到可解得又注意到t0，故解为，所以xy18故答案应为1815在ABC中，a=3，b=，A=，则B=【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B【解答】解：由正弦定理可得，=，即有sinB=，由ba，则BA，可得B=故答案为：16已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推
15、断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=mABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x210x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为三、解答题：（本大题共4小题，共36分，其中17、18题各8分，19、20题各10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，（1）若ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2s
16、inA，求ABC的面积【考点】解三角形；三角形中的几何计算【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：（1）c=2，cosC=，由余弦定理c2=a2+b22abcosC得：a2+b2ab=4，又ABC的面
17、积等于，sinC=，整理得：ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2；（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，联立方程组，解得：，又sinC=，则ABC的面积18等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（）求数列an的通项公式；（）设bn=2+n，求b1+b2+b3+b10的值【考点】等差数列的性质【分析】（）建立方程组求出首项与公差，即可求数列an的通项公式；（）bn=2+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+b10的值【解答】解：（）设公差为d，则，解得，所以an=3+（n1）=n+2；（）bn=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+b10=（2+1）+（22+2
18、）+=（2+22+210）+（1+2+10）=+=210119如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD（）证明：PABD；（）若PD=AD，求二面角APBC的余弦值【考点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角【分析】（）因为DAB=60，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BDAD，根据PD底面ABCD，易证BDPD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PABD；（）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可【解答】（）证明
19、：因为DAB=60，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），B（0，0），C（1，0），P（0，0，1）=（1，0），=（0，1），=（1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos=故二面角APBC的余弦值为：20椭圆=1（ab0）的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2（）
20、求椭圆的方程；（） 过点M（0，1）作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足=，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）根据圆的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2，建立方程组，可求椭圆的方程；（）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用=，可得（x1x0，y1）=（x2x0，y2），设直线l的方程为y=kx1（k0），与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+18k2=0，由此即可求得直线l的方程【解答】解：（）椭圆的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2，c=，a=2，b=，椭圆的方程为；（）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）=，（x1x0，y1）=（x2x0，y2）y1=y2易知直线斜率不存在时或斜率为0时不成立于是设直线l的方程为y=kx1（k0）与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+18k2=0y1+y2=y1y2=由可得y2=，y1=代入整理可得：8k4+k29=0k2=1此时为5y2+2y7=0，判别式大于0直线l的方程为y=x12016年10月8日
