1、北京101中学20182019学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.函数的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.详解】,，故本题选C.【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.2.在等差数列中，则（ ）A. 72B. 60C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可知：由，可得，所以可求出，再次利用此性质可以化简为，
2、最后可求出的值.【详解】根据等差数列的性质可知：，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算能力.3.在中，已知，那么一定是（ ）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】试题分析：利用正余弦定理将sinC2sin（BC）cosB转化为，三角形为等腰三角形考点：正余弦定理4.的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出的值.【详解】，故本题选C.【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：，.5.已知依次成等比数
3、列，那么函数的图象与轴的交点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1或2【答案】A【解析】【分析】由依次成等比数列，可得，显然，二次方程的判别式为，这样就可以判断出函数的图象与轴的交点的个数.【详解】因为依次成等比数列，所以，显然，二次方程的判别式为，因此函数的图象与轴的交点的个数为零个，故本题选A.【点睛】本题考查了等比中项的概念、一元二次方程根的判别式与相应二次函数与轴的交点个数的关系.6.在中，若，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】分析：先根据正弦定理求C，再根据三角形内角关系求A.详解：因为，所以所以因此，选D.点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角
4、形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用7.在中，已知，且，则的值是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在中，根据正弦定理，可以把转化为边之间比的关系，可以进一步判断三角形的形状，利用和三角形的形状，可以求出三角形的三条边，最后利用平面向量的数量积公式求出的值.【详解】在中，设内角所对边，根据正弦定理，可知,已知，所以，显然是等腰直角三角形，即，因此有，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式、三角形形状的识别，以及平面向量的数量积运算，平面向量的夹角是解题的关键也是易错点.8.数列满足=，
5、则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式，化简数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的前项和.【详解】，所以数列的前项和为,，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列的前项和，利用裂项相消法求数列的前项和.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.在等比数列中，则_.【答案】3n1【解析】因为在等比数列中，解得 ，故答案为 .10.已知，则=_【答案】【解析】因为，所以，即，则.11.在中，若，则 _.【答案】【解析】【分析】运用正弦定理实现边角转化，然后逆用二角和的正弦公式、三角形内角和定理、以及诱导公式，化简，最后求出的值.【详解
6、】根据正弦定理，可知,由，可得，,所以【点睛】本题考查了正弦定理、逆用二角和的正弦公式、诱导公式，考查了公式恒等变换能力.12.在数列中，则数列通项 _.【答案】【解析】【分析】根据递推公式特征，可以采用累加法，利用等差数列的前项和公式，可以求出数列的通项公式.【详解】当时，当也适用，所以.【点睛】本题考查了累和法求数列通项公式、等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.13.如图，点是单位圆上的一个动点，它从初始位置（单位圆与轴正半轴的交点）开始沿单位圆按逆时针方向运动角到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于_.【答案】【解析】【分析】由三角函数的定义可以求
7、出，判断点的位置，由已知点的横坐标为，利用同角的三角函数关系，可以求出点的纵坐标，可以得到，再利用二角差的余弦公式求出的值.【详解】由三角函数的定义可知：点的坐标为，因为，所以，所以点在第二象限，已知点的横坐标为，即，所以，因此有.【点睛】本题考查了三角函数定义、同角的三角函数关系、以及二角差的余弦公式，考查了数学运算能力.14.设等差数列满足，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数关系，平方差公式、逆用两角和差的正弦公式、等差数列的性质，可以把已知等式，化简为，根据，可以求出的值，利用等差数列前项和公式和二次函数的性质，得到对
8、称轴所在范围，然后求出首项的取值范围.【详解】,数列是等差数列，所以，所以有，而，所以，因此，对称轴为：，由题意可知：当且仅当时，数列的前项和取得最大值，所以，解得，因此首项的取值范围是.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，两角和差的正弦公式，考查了等差数列的性质、前项和公式，以及前项和取得最大值问题，考查了数学运算能力.三、解答题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.已知，求以及的值【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数，求出，；再利用两角和差公式求解.【详解】， ，【点睛】本题考查同角三角函数和两角和差公式，解决此类问题要注意在求解同角三角函数值时，角所处的范
9、围会影响到函数值的正负.16.已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为l，公比为2的等比数列，求数列的前项和.【答案】（）；（）.【解析】分析：（）设等差数列的公差为， 由 ，令 可得，解得，从而可得结果；（）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和.详解：设等差数列的公差为，因为，所以 所以 所以 所以. （）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以 因为，所以. 设数列的前项和为，则 所以数列的前项和为点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求
10、数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.17.在中，角的对边分别为,的面积是30,.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）144；（2）5.【解析】【分析】（1）由同角的三角函数关系，由，可以求出的值，再由面积公式可以求出的值，最后利用平面向量数量积的公式求出的值；（2）由（1）可知的值，再结合已知，可以求出的值，由余弦定理可以求出的值.【详解】（1），又因为的面积是30，所以，因此（2）
11、由（1）可知，与联立，组成方程组：，解得或，不符合题意舍去，由余弦定理可知：.【点睛】本题考查了同角的三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理、平面向量的数量积运算,本题求，可以不求出的值也可以，计算如下：18.在中，且.（1）求边长；（2）求边上中线的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角的三角函数关系，可以求出的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出长；（2）利用余弦定理可以求出的长，进而可以求出的长，然后在中，再利用余弦定理求出边上中线的长.【详解】（1），由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：【
12、点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.19.若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”.（1）前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由.【答案】（1）是；是；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用公式和 ，求出数列的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；求出数列的前项和，按照回归数列的定义进行判断；
13、（2）求出的前项和，根据是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出的值；（3）等差数列的公差为，构造数列，可证明、是等差数列，再利用等差数列前项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.【详解】（1）当时，当时，当时，所以数列是“回归数列”；因为，所以前n项和，根据题意，因为一定是偶数，所以存在，使得，所以数列“回归数列”；（2）设是等差数列为，由题意可知：对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，即，取，得，解得，公差，所以，又；（3）设等差数列=，总存在两个回归数列，显然和是等差数列，使得，证明如下：，数列前n项和，时，为正整数，当时，所以存在正整数，使得，所以是“回归数列”，数列前n项和，存在正整数，使得，所以是“回归数列”，所以结论成立.【点睛】本题考查了公式，等差数列的前项和、通项公式，考查了推理能力、数学运算能力.