1、第2节常用逻辑用语考试要求1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.知 识 梳 理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件pq且q pp是q的充分不必要条件p q且qpp是q的必要不充分条件pqp是q的充要条件pq且q pp是q的既不充分又不必要条件2.全称量词与存在量词(1)全称量
2、词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x”表示对“任意x”.(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在x”.3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为綈p，读作“非p”)名称全称命题存在性命题定义含有全称量词的命题含有存在量词的命题简记xM，p(x)xM，p(x)否定xM，綈p(x)xM，綈p(x)常用结论与微点提醒1.区别A是B的充分不必要条件(AB且B A)，与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同.2.A是B的充分不必要条件綈B是綈A的充分不必要条件.3.含有一个
3、量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.诊 断 自 测1.判断下列结论的正误. (在括号内打“”或“”)(1)若已知p：x1和q：x1，则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是存在性命题.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为0”的充要条件.()解析(2)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a，bR且ab0，则ab1是a的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若“ab1”，当a
4、2，b1时，不能得到“a”，若“a”，例如当a1，b1时，不能得到“ab1”，故“ab1”是“a”的既不充分也不必要条件.答案D3.(教材选修2-1P18T4改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是_.答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等4.(2020无锡模拟)已知命题p：x0R，x4x060C.xR，x24x60 D.xR，x24x60解析依据存在性命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.答案A5.(2020青岛二中检测)直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.解析直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点等价于，解得1k3.答案1ka是q：2x3的必
5、要不充分条件，则实数a的取值范围是_.解析由已知，可得x|2xa，a2.答案(，2考点一充分条件与必要条件的判断【例1】 (1)(2019浙江卷)若a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2020扬州模拟)设函数f(x)则“m1是ff(1)4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析(1)当a0，b0时，得4ab2，即ab4，充分性成立；当a4，b1时，满足ab4，但ab54，不满足ab4，必要性不成立，故“ab4”是“ab4”的充分不必要条件.(2)当m1时
6、，ff(1)ff(2)22m14，当ff(1)4时，ff(1)ff(2)22m1422，2m12，解得m.故“m1”是“ff(1)4”的充分不必要条件.答案(1)A(2)A规律方法充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.【训练1】 (1)(2019天津卷)设xR，则“x25x0”是“|x1|1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)“a0”是“函数f(x)sin xa为奇函数”的_条件.解析(1)由“x25x0”可得“0x5”；由“|x1|1”可得“0x2”.
7、由0x5 0x2；但0x20x5，所以“x25x0”是“|x1|1”的必要不充分条件.(2)显然a0时，f(x)sin x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(x)f(x)sin(x)asin xa0.因此2a0，故a0.所以“a0”是“函数f(x)sin xa为奇函数”的充要条件.答案(1)B(2)充要考点二充分、必要条件的应用典例迁移【例2】 (经典母题)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件，求实数m的取值范围.解由x28x200，得2x10，Px|2x10.xP是xS的必要条件，则SP.解得m3.又S为非空集合，1m1m，解得m0.综上，m的取值范围是
8、0，3.【迁移1】 本例条件不变，若xP是xS的必要不充分条件，求m的取值范围.解由例知，SP，或解得0m3或0m3，0m3，故m的取值范围是0，3.【迁移2】 本例条件不变，若xP的必要条件是xS，求m的取值范围.解由例知Px|2x10，若xP的必要条件是xS，即xS是xP的必要条件，PS，解得m9.故m的取值范围是9，).【迁移3】 本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？并说明理由.解由例题知Px|2x10.若xP是xS的充要条件，则PS，这样的m不存在.规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为
9、集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练2】 (2020泰州模拟)若关于x的不等式|x1|a成立的充分条件是0x4，则实数a的取值范围是()A.(，1 B.(，1)C.(3，) D.3，)解析|x1|a1ax1a，因为不等式|x1|a成立的充分条件是0x4，所以(0，4)(1a，1a)，所以解得a3.答案D考点三全称量词与存在量词多维探究角度1含有量词命题的否定【例31】 (2020徐州模拟)已知集合
10、A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：f(x)A，|f(x)|B，则綈p为()A.f(x)A，|f(x)|B B.f(x)A，|f(x)|BC.f(x)A，|f(x)|B D.f(x)A，|f(x)|B解析全称命题的否定为存在性命题：改写量词，否定结论.綈p：f(x)A，|f(x)|B.答案C角度2全称(存在性)命题的真假判断【例32】 已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.xR，f(x)f(x)B.xR，f(x)f(x)C.x0R，f(x0)f(x0)D.x0R，f(x0)f(x0)解析定义域为R的函数f(x)不是偶函数，xR，f(x)f(x)为假命题，x
11、0R，f(x0)f(x0)为真命题.答案C角度3由命题的真假求参数的取值范围【例33】 已知f(x)ln(x21)，g(x)m，若对x10，3，x21，2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_.解析当x0，3时，f(x)minf(0)0，当x1，2时，g(x)ming(2)m，由f(x)ming(x)min，得0m，所以m.答案规律方法1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集
12、合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个xx0，使p(x0)成立即可.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】 (1)(角度1)命题“x0R，1f(x0)2”的否定形式是()A.xR，1f(x)2B.x0R，12D.xR，f(x)1或f(x)2(2)(多选题)(角度2)下列命题中是真命题的有()A.xR，2x10 B.xN*，(x1)20C.x0R，lg x01 D.x0R，tan x02(3)(角度3)(2020扬州模拟)若“x，mtan x2”为真命题，则实数m的最大值为_.解析(1)存在性命题的否
13、定是全称命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1或f(x)2”.(2)当x1时，(x1)20，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD.(3)由x，1tan x22.“x，mtan x2”为真命题，则m1.实数m的最大值为1.答案(1)D(2)ACD(3)1逻辑推理突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1形如“对任意x1A，都存在x2B，使得g(x2)
14、f(x1)成立”的问题【例1】 已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)x，若对任意x11，1，总存在x20，2，使得f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数a的取值范围.解由题意知，g(x)在0，2上的值域为.令h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)，则h(x)6x2，由h(x)0得x.当x时，h(x)0，所以h(x)minha22a.又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是2，0.思维升华理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式
15、组，求得参数的取值范围.类型2形如“存在x1A及x2B，使得f(x1)g(x2)成立”的问题【例2】 已知函数f(x)函数g(x)ksin2k2(k0)，若存在x10，1及x20，1，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围.解由题意，易得函数f(x)的值域为0，1，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即22k1或2k0，解得k，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.思维升华本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f
16、(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3形如“对任意x1A，都存在x2B，使得f(x1)1，x210”，则綈p为()A.x1，x210 B.x1，x210C.x01，x10 D.x01，x10解析命题p：“x1，x210”，则綈p为：x01，x10.答案C2.(2020泰州中学质检)在等比数列an中，“a1，a3是方程x23x10的两根”是“a1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由a1a33，a1a31aa1a31，但a1 a1a33.因而“a1，a3是方程x23x10的两根”是a1的充分不必要条件.答案A3.已知命题
17、px(0，1)，exa0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是()A.a1 B.aeC.a1 D.ae解析綈px(0，1)，exa0为真命题，ae.答案B4.以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是()A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x，使x20C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x，2解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题，B中当x0时，x20，满足x20，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为()0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有0，不满足2，所以D是假命题.答案B5.(2018浙江卷)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”
18、是“m”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若m，n，mn，由线面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件.答案A6.已知命题p：x22x30；命题q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.1，) B.(，1C.1，) D.(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a1.答案A7.已知命题“xR，4x2(a2)x0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(，0)
19、 B.0，4C.4，) D.(0，4)解析因为命题“xR，4x2(a2)x0”是假命题，所以其否定命题“xR，4x2(a2)x0”是真命题.则(a2)244a24a0，解得0a4.答案D8.下列命题中，真命题是()A.x0R，ex00B.xR，2xx2C.ab0的充要条件是1D.“a1，b1”是“ab1”的充分条件解析因为yex0，xR恒成立，所以A不正确；因为当x5时，25(5)2，所以B不正确；“1”是“ab0”的充分不必要条件，C不正确；当a1，b1时，显然ab1，D正确.答案D二、填空题9.(2017北京卷改编)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的_条件.解析存在
20、负数，使得mn，则mnnn|n|20；反之mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n，当m，n时，m，n不共线.故“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分不必要条件.答案充分不必要10.若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_.解析函数ytan x在上是增函数，ymaxtan 1，依题意，mymax，即m1.m的最小值为1.答案111.已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范围是_.解析解不等式|xm|1，得m1x|b|”是“f(a)f(b)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析因为f(x)是偶函数，所以f(
21、x)f(|x|).又yf(x)在0，)上单调递增，若a|b|，则f(a)f(|b|)f(b)，即充分性成立；若f(a)f(b)，则等价为f(|a|)f(|b|)，即|a|b|，即a|b|或a|b|”是“f(a)f(b)”的充分不必要条件.答案A14.(2017浙江卷)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析由S4S62S5S6S5(S5S4)a6a5d，所以S4S62S5d0，所以“d0”是“S4S62S5”的充要条件.答案C15.已知函数f(x)a2x2a1.若命题“x
22、(0，1)，f(x)0”是假命题，则实数a的取值范围是_.解析函数f(x)a2x2a1，命题“x(0，1)，f(x)0”是假命题，原命题的否定：“x0(0，1)，使f(x0)0”是真命题，f(1)f(0)0，即(a22a1)(2a1)0，解得a，且a1，实数a的取值范围是(1，).答案(1，)16.(2019盐城一中月考)设p：ln(2x1)0，q：(xa)x(a1)0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是_.解析p对应的集合Ax|yln(2x1)0，q对应的集合Bx|(xa)x(a1)0x|axa1.由q是p的必要而不充分条件，知AB.所以a且a11，因此0a.答案C级创新猜想17.(多选题)(2020徐州一中月考)下列四个命题：p1：任意xR，2x0；p2：存在xR，x2x10；p3：任意xR，sin xx2x1.其中的真命题是()A.p1 B.p2 C.p3 D.p4解析xR，2x0恒成立，p1是真命题.又x2x10，p2是假命题.由sin12，知p3是假命题.取x时，coscos，但x2x1b，则b，则为真命题，则b，ba0.故当a0，bb，则0，b0)