1、2018-2019学年高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合,根据交集定义，即可求得答案.【详解】，.故选：D.【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2.复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知列式求得 ,得到,代入,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:由,得解得.故选:D.【点睛】本题考查了复数的模,考查了复数的除法运算.易错点在于误把 算成了1.3.甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩
2、的茎叶图，如图，（ ）甲的平均成绩低，方差较大甲的平均成绩低，方差较小乙的平均成绩高，方差较大乙的平均成绩高，方差较小A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图所给两组数据,分别算出甲和乙的平均数和方差,即可选出正确选项.【详解】解:由茎叶图知,甲的平均数是;乙的平均数是甲的方差为 乙的方差为故正确的说法为；故选:A.【点睛】本题考查了平均数、方差的求法,考查了茎叶图.本题的易错点有两个,一是不能正确地由茎叶图得到原始数据,二是计算上出现问题.4.已知双曲线中心为原点，焦点在轴上，过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
3、首先根据条件中的渐近线方程,可设双曲线方程为,把点的坐标代入即可求出结果.【详解】解：渐近线方程为,设双曲线方程为,将的坐标代入方程得,求得则该双曲线的方程为.故选:C.【点睛】本题考查了双曲线的方程及性质.若已知双曲线渐近线为 求双曲线的方程时,则根据焦点的位置,设出双曲线方程为,代入已知条件即可求解.5.已知满足不等式组,则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域,目标函数变形为，通过数形结合可得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】解:由约束条件作出可行域如图化目标函数为由图可知，当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最小值
4、为-2.故选:D.【点睛】本题考查线性规划求最值问题.此类题的解答思路为:根据已知约束条件,画出可行域;将目标函数整理成直线的斜截式,结合目标函数的几何意义,通过平移直线,找到最优解,将最优解的坐标代入目标函数中即可求出最值.注意可行域的边界线的虚实问题.6.已知的面积为，且，为钝角，则（ ）A. B. 4C. D. 5【答案】C【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的值,利用同角三角函数基本关系式可求的值,进而根据余弦定理即可求解的值.【详解】解:由题意可得:,解得又为钝角,可得由余弦定理可得,解得.故选:C.【点睛】本题考查了三角形的面积公式,考查了同角三角函数的基本关系,考查了余
5、弦定理.本题的易错点是忽略为钝角这一条件,从而得到错误的 的值,导致最后结果出错.在解三角形时,若已知两边及夹角,可运用余弦定理进行求解.7.若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由得到这两个向量数量积为0，即,将代入式子中,结合数量积的公式化简即可得到夹角的大小.【详解】解:非零向量,满足,且则,.整理得 ,又所以,即与的夹角为.故选:A.【点睛】本题考查了向量的垂直应用,考查了向量的数量积.在向量类的问题中,若已知两个向量垂直,则一般情况下我们即可得到二者的数量积为0.若题目中已知向量的坐标,则接下来代入向量坐标进行化简求值;若未已知向量
6、坐标,则一般情况下,按向量数量积的定义对式子进行化简.8.如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ） A. 10B. 21C. 33D. 47【答案】C【解析】分析】根据所给流程图，按流程图运算，即可求得答案.【详解】执行程序框图，可得，不满足条件，不满足条件，不满足条件，满足条件，退出循环，输出的值为33.故选：C【点睛】本题主要考查了根据流程图求输出结果，解题关键是掌握流程图基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由给定的三视图得该几何体表示左侧是一个以边长为的正方形为底面，高
7、为的四棱锥，右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为的直三棱柱，即可求解其体积详解：由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为的正方形为底面，高为的四棱锥，其体积为；右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为的直三棱柱，其体积为，所以该几何体的体积为，故选B点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和
8、数量关系，利用相应体积公式求解10.已知函数是奇函数，且时，若函数有2个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据定义在上的奇函数的性质,可求出的值;函数有2个零点等价于函数的图象与直线有两个交点,数形结合,由图即可求出的取值范围.【详解】解:因为函数是定义在上的奇函数,所以即,解得.因为函数有2个零点所以函数的图象与直线有两个交点,令. 均在其定义域上单调递增, 在 单调递增, 在 上单调递增.作出其大致图象,由图可知,.故选:B.【点睛】本题考查了奇函数性质,考查了分段函数,考查了函数的零点,考查了函数的单调性.对于考查奇偶性类的题目,若证明函数的奇偶
9、性,一般根据定义来证明;若已知奇偶性求参数的值,一般是代入特殊值进行求解.若函数,其中 均为增函数(减函数),则 也为增函数(减函数);若,其中 为增函数, 为减函数,则为增函数; 若,其中 为减函数, 为增函数,则为减函数.11.已知函数，且，.若的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由的最小值为可求出周期为,进而可求 的值,得到函数解析式后, 令,即可求出增区间.【详解】解:因为函数,且的最小值为,所以,解得.所以令,解得所以函数的单调递增区间为:故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的图像性质,考查了三角函数单调性的求解.对于 求单调区间
10、时,若,令,可求增区间; 令,可求减区间. 若,令,可求减区间; 令,可求增区间.12.已知函数的图象过点，若函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】点在图象上,代入可以得出,利用导数求出其单调增区间,使为所求增区间的子集,列出关于 的不等式即可求解.【详解】解:的图象过点,.则.令,则;的单调递增区间为.即,解得.故选:A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解,考查了导数求单调性.若已知函数在某含参区间上的增减性时,一般先求出函数的增减区间,继而令已知区间是所求增减区间的子集,列出不等式,进行求解.在求函数的单调性时,可采用图像法、导数法或利
11、用函数的性质.二、填空题13.若，则_.【答案】【解析】【分析】由题意利用诱导公式求得的值,再利用二倍角公式求得的值.【详解】解:,则故答案为:.【点睛】本题考查了诱导公式,考查了二倍角公式.易错点于对诱导公式掌握不熟练,不能正确地判断符号.14.已知直线与圆相交于两点,则线段的长为_.【答案】【解析】【分析】根据题意,由圆的方程分析圆的圆心与半径,求出圆心到直线的距离,结合直线与圆的位置关系分析可得答案.【详解】解:根据题意,圆的圆心为,半径则圆心到直线距离,则弦长故答案为:.【点睛】本题考查了直线与圆的弦长问题.对于这类问题,一般有两种方法,一是联立直线和圆的方程,利用弦长公式 进行求解;
12、另外还可利用几何的方法,求出圆心到直线的距离,求出圆的半径,根据勾股定理可求出弦长.15.已知三棱锥的外接球的球心在上,若三棱锥的体积为，,则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意分析出球心为的中点,由已知边的等量关系可知面,由三棱锥的体积为= ,可求出球的半径,进而可求球的表面积.【详解】解:设球的半径为,则,所以是中点又因为,所以,所以平面所以三棱锥体积.又因为所以,所以,解得所以球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查了球的表面积,考查了锥体的体积,考查了解三角形,考查了线面垂直的判定.对于锥体体积问题,根据题意找到为高的线段以及求出高为核心.本题难点在于由已知条件分析出线面
13、垂直.16.已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，直线：与抛物线交于，两点，点在第一象限，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设，利用焦半径的公式代入，并与抛物线方程联立，求得点的坐标，再代入斜率公式求得的值.【详解】设，直线过抛物线的焦点，所以，由，得，.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的焦半径、直线与抛物线的位置关系、斜率公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意焦半径公式的运用.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列的前项和为
14、.且,.（1）求数列的通项公式；（2）当为何值时,数列的前项和最大？【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为.由,.利用通项公式即可得出.(2)求出,结合二次函数的性质,可求.【详解】解:(1)设等差数列的公差为.且.,解得.(2).可把 看作是关于 的二次函数,此时,对称轴为 因为,所以当时,数列的前项和最大.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列和的问题.求等差数列的通项公式时,常用的方法是基本量法,即用 将已知条件表示出来,解方程即可.当求解 取何值, 最大时,可结合二次函数的思想.易错点在于忽略了.18.在三棱锥中,和是边长为的等边三角形, 分别是的
15、中点.（1）求证:平面（2）求证:平面 （3）求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).【解析】【分析】(1)由已知结合三角形中位线定理得,再由线面平行的判定可得平面;(2)由已知可得,求解三角形证明,再由线面垂直的判定可得平面;(3)由(2)可知,平面,可得,再由三棱锥的体积为体积的求解.【详解】(1)证明:分别为的中点,平面,平面,平面.(2)证明:,为的中点,同理,.,则,即,.平面.(3)解:由(2)可知,平面.为三棱锥的高,且.【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了线面垂直的判定,考查了椎体的体积.在证明线面垂直时,由判定定理,这里需要证明两次线线垂直.在证明线线
16、垂直时,常用的方法有:菱形的对角线垂直,三角形中勾股定理,等腰三角形中三线合一,建立空间坐标系用空间向量证明.在证明线面平行时,由判定定理,需要证明线线平行.在证明线线平行时,常用的方法有:利用三角形的中位线,平行四边形的对边平行,空间向量证明.19.高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考前学生的紧张程度与性别是否有关系，现随机抽取某校500名学生进行了调查，结果如表所示：心情 性别男女总计正常304070焦虑270160430总计300200500（1）根据该校调查数据,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该学校学生的考前焦虑情况与性别有关”？（2）若从
17、考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率.附：,. 0.250.150.100.050.0250.010 1.3232.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1)能;(2)【解析】【分析】(1)根据题意,计算可得的观测值,结合独立性检验的知识分析可得答案.(2)根据题意,分析可得抽取7人,其中有3名男生,4名女生.由组合数公式计算可得”从7人中任意抽取2人”和”抽取的两人中有女生”的选法数目,由古典概型公式计算可得答案.【详解】解:(1)根据题意,由列联表可得:的观测值故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,
18、认为该学校学生的考前焦虑情况与性别有关.(2)根据题意,若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人,其中有3名男生,4名女生.从7人中任意抽取2人,有种情况.其中抽取的两人中有女生的抽法有种选法.故其概率.【点睛】本题考查了独立性检验,考查了古典概型.在进行独立性检验时,一般步骤为:假设无关,画列联表,求的值,下结论.这里正确计算出的近似值是关键.对于求古典概型概率问题,可列出所有的基本事件,也可以用排列组合的思想计算个数.20.已知椭圆的离心率为，焦距为，直线过椭圆的左焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轴交于点是椭圆上的两个动点,的平分线在轴上,.试判断直线是否过定点，
19、若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.【答案】(1);(2)过定点【解析】【分析】(1)因为直线过椭圆的左焦点,故令,得,又因为离心率为,从而求出,又因为,求出的值,从而求出椭圆的标准方程;(2)先求出点的坐标,设直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系,设,得到,又因为的平分线在轴上,所以,从而求出的值,得到直线的方程为过定点坐标.【详解】解:(1)因为直线过椭圆的左焦点,故令,得，,解得.又,解得.椭圆的标准方程为:.(2)由(1)得,直线的方程为令得,即.设直线的方程为联立方程组,消去得,设,则直线、的斜率, 所以的平分线在轴上,即又,.即直线的方程为,过定点.【点睛】本题
20、考查了椭圆的方程,考查了直线与椭圆的位置关系.求椭圆方程时,经常会用到,这里易错点就是和双曲线的 进行混淆.求解直线和圆锥曲线问题时,一般要设出直线方程,与圆锥曲线方程进行联立,消元后韦达定理得到交点坐标的关系,再根据具体的题目往下做.21.已知函数（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；（2）证明：当时，在区间上，不等式恒成立.【答案】(1),;(2)见解析.【解析】【分析】(1)当时,利用导数研究函数的单调性即可得出最值;(2)令,在区间上,不等式恒成立等价于在区间上恒成立.利用导数研究函数的单调性即可得出大值.【详解】(1)解:当时,则对于,有.在区间上为增函数,.(2)证明:,当时,则
21、有,此时在区间上恒有从而在区间上是减函数.,又，,即恒成立.【点睛】本题考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.求函数的最值,常用的方法有图像法,单调性分析求最值,导数法等.利用导数求最值时,明确函数的定义域,求导后,解出导数为零的根,分析函数及导数随自变量的变化情况,进而可求出最值.若证明 恒成立,只要证明 即可; 若证明 恒成立,只要证明 即可.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,椭圆 以极坐标系中的点为中心、点为焦点、为一个顶点.直线的参数方程是,（为参数）.（1）求椭圆的极坐标方程；（2）若直线与椭圆的交点分别为，求线段的长
22、度.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)联立直线与椭圆,利用韦达定理求出交点坐标的关系,代入弦长公式即可求解.【详解】解:(1)椭圆以极坐标系中的点为中心、点为焦点、为一个顶点.所以,.所以椭圆的方程为代入 转换为极坐标方程为.(2)直线的参数方程是,(为参数).转换为直角坐标方程为.设交点,.所以整理得.所以,所以.【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的转换,考查了直角坐标方程与参数方程的转换,考查了弦长问题.已知直角坐标方程求极坐标方程时,代入整理即可,已知极坐标方程求直角坐标方程时,代入 化简即可.已知
23、参数方程求直角坐标方程时,关键是消参.求直线和圆锥曲线相交的弦长问题时,常用弦长公式 进行计算.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）解不等式；（2）若，恒成立，求实数t的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由绝对值不等式的解法,化简可得所求解集;(2)若,恒成立,可得恒成立,由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值,运用二次不等式的解法,可得所求范围.【详解】解:(1)函数,不等式即为即,即有.因为恒成立所以,即,可得则原不等式的解集为.(2)若,恒成立,可得恒成立由,可得,即.解得.则实数t的取值范围是.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,考查了绝对值三角不等式的应用,考查了二次不等式的求解.解含有绝对值的不等式,常用方法有分类讨论法,几何意义解释,函数图像法.对于含参恒成立问题,一般做法是参变分离,求出分离后函数的最值,进而可求参数的取值范围.