1、第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在ABC中,A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120,c=2a,则()A.abB.abC.a=bD.不能确定解析方法一:由余弦定理,得2a2=a2+b2-2abcos 120,即b2+ab-a2=0,即ba2+ba-1=0,ba=-1+521,故b0,ab.方法三:由c=2a,得sin C=2sin A.sin 120=2sin A.sin A=6412.又A+B=60,A30,AB.ab.答案A2在ABC中,已知AB=3,AC=1
2、,B=30,则ABC的面积等于()A.32B.34C.32或3D.32或34解析1sin30=3sinC,sin C=32.0CBC,3b=20acos A,则sin Asin Bsin C为()A.432B.567C.543D.654解析由题意,设a=b+1,c=b-1,3b=20acos A=20(b+1)b2+c2-a22bc=20(b+1)b2+(b-1)2-(b+1)22b(b-1),整理得7b2-27b-40=0,解得b=5,可知a=6,c=4.结合正弦定理,可得sin Asin Bsin C=654.答案D9ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若直线bx+(a-c
3、)y+1=0与直线(a-b)x-(a+c)y+1=0垂直,则C的大小为()A.6B.3C.23D.56解析由两直线垂直,得b(a-b)-(a-c)(a+c)=0,即a2+b2-c2=ab,cos C=a2+b2-c22ab=12,故C=3.答案B10在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cos C=()A.725B.-725C.725D.2425解析由正弦定理bsinB=csinC及8b=5c,C=2B,可得bsinB=85b2sinBcosB,解得cos B=45.则cos C=cos 2B=2cos2B-1=2452-1=725.答案A二、填空题(
4、本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在ABC中,若a2+b2c2,且sin C=32,则C=.解析由a2+b2c2,即a2+b2-c20,cos B=35,sin B=45,即a=5.(2)由S=12acsin B,得c=5.由cos B=a2+c2-b22ac,解得b=25.l=a+b+c=10+25.17(本小题满分8分)在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若sinA+6=2cos A,求A的大小;(2)若cos A=13,b=3c,求sin C的值.解(1)由题设,知sinA+6=sin Acos6+cos Asin6=2cos A.从而s
5、in A=3cos A,所以cos A0,tan A=3,因为0A,所以A=3.(2)由cos A=13,b=3c及a2=b2+c2-2bccos A,得a2=b2-c2.故ABC是直角三角形,且B=2,所以sin C=cos A=13.18(本小题满分9分)在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,若tan A=3,cos C=55.(1)求B的大小;(2)若c=4,求ABC的面积.解(1)cos C=55,sin C=255,tan C=2.又tan B=-tan(A+C)=-tanA+tanC1-tanAtanC=-2+31-23=1,且0B,B=4.(2)由正弦定理bsinB=cs
6、inC,得b=csinBsinC=10,由sin A=sin(B+C)=sin4+C,得sin A=31010,ABC的面积SABC=12bcsin A=6.19(本小题满分10分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,c=3asin C-ccos A.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为3,求b,c.解(1)由c=3asin C-ccos A及正弦定理得3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.因为sin C0,所以sinA-6=12.又0A,故A=3.(2)因为ABC的面积S=12bcsin A=3,所以bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A
7、,故b2+c2=8,解得b=c=2.20(本小题满分10分)如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30方向,相距10海里的C处的乙船.(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离;(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援,其方向与CA成角,求f(x)=sin2sin x+34cos2cos x(xR)的值域.解(1)由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,即BC2=202+102-22010cos 120=700.解得BC=107,故处于C处的乙船和遇险渔船间的距离为107海里.(2)sin20=sin120107,sin =217.是锐角,cos =277.f(x)=sin2sin x+34cos2cos x=37sin x+37cos x=237sinx+6,f(x)的值域为-237,237.
