1、导数的简单应用及定积分一、选择题(每小题5分，共25分)1已知函数f(x)ax23x2在点(2，f(2)处的切线斜率为7，则实数a的值为()A1 B1 C1 D22 (xsin x)dx等于()A.1 B.1 C. D.13函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A(0,1 B1，)C(，1(0,1 D1,0)(0,14函数f(x)exex(e为自然对数的底数)在(0，)上()A有极大值 B有极小值C是增函数 D是减函数5已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是()A13 B15 C10 D15二、填空题(每小题5分，共15分)6已知函数
2、f(x)xex，则f(x)_；函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为_7设f(x)(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为_8函数f(x)x3x23x1的图象与x轴的交点个数是_三、解答题(本题共3小题，共35分)9(11分)设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)f(x)ex，求函数g(x)的极值10(12分)已知函数f(x)ln x.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值11(12分)已知函数f(x)(
3、a1)ln xax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a2，证明：对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.参考答案1B因为f(x)2ax3，所以由题意得2a237，解得a1.故选B.2B (xsin x)dx 2cos cos 01，故选B.3A函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x，由f(x)0，得0x1.4C依题意知，当x0时，f (x)exexe0e00，因此f(x)在(0，)上是增函数，选C.5A求导得f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x.由此可得f
4、(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.于是，f(m)f(n)的最小值为13.故选A.6解析依题意得f(x)1exxex(1x)ex；f(0)(10)e01，f(0)0e00，因此函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程是y0x0，即yx.答案(1x)exyx7解析依题意得，f(x)dxx2dxdx.答案8解析f(x)x22x3(x1)(x3)，函数在(，1)和(3，)上是增函数，在(1,3)上是减函数，由f(x)极小值f(3)100，f(x
5、)极大值f(1)0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案39解(1)因f(x)x3ax2bx1，故f(x)3x22axb.令x1，得f(1)32ab，由已知f(1)2a，因此32ab2a，解得b3.又令x2，得f(2)124ab，由已知f(2)b，因此124abb，解得a.因此f(x)x3x23x1，从而f(1).又因为f(1)23，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3(x1)，即6x2y10.(2)由(1)知g(x)(3x23x3)ex，从而有g(x)(3x29x)ex.令g(x)0，得3x29x0，解得x10，x23，当x(，0)时，g(x)0，故g(x)在(，0)
6、上为减函数；当x(0,3)时，g(x)0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x(3，)时，g (x)0，故g(x)在(3，)上为减函数；从而函数g(x)在x10处取得极小值g(0)3，在x23处取得极大值g(3)15e3.10解(1)由题知f(x)定义域为(0，)，且f(x).a0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1)知：f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1a(舍去)若ea1
7、，令f(x)0，得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当axe时，f(x)0，f(x)在(a，e)上为增函数f(x)minf(a)ln(a)1a.综上可知，a.11(1)解由题知f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调增加；当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调减少；当1a0时，令f(x)0，解得x .则当x时，f(x)0；x时，f(x)0.故f(x)在上单调增加，在上单调减少(2)证明不妨假设x1x2.由(1)知当a2时，f(x)在(0，)上单调减少，所以|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)f(x1)4x14x2，即f(x2)4x2f(x1)4x1.令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4.于是g(x)0.从而g(x)在(0，)上单调减少，故g(x1)g(x2)，即f(x1)4x1f(x2)4x2，故对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.