1、1 知识网络宏观掌控2 热点透视专题突破 热点一互斥事件与对立事件的概率计算例 1 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：血型ABABO该血型的人所占比例(%)2829835已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是 B 型血，若张三因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输出张三的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？解析：(1)对任一人，其血型为 A，B，AB，O 的事件分别记为 A，B，C，D，由已知，有 P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35，因为 B，O 型血可以输给张三，所
2、以“任找一人，其血可以输给张三”为事件 BD.依据互斥事件概率的加法公式，有 P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)法一 由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件 AC，依据互斥事件概率的加法公式，有 P(AC)P(C)P(A)0.280.080.36.法二 因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有 P(AC)1P(BD)1P(B)P(D)10.640.36.热点二古典概型的概率计算例 2 一个均匀的正四面体面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字，现在随机投
3、掷两次，正四面体面朝下的数字分别为 b，c.(1)记 z(b3)2(c3)2，求 z4 的概率；(2)若方程 x2bxc0 至少有一根 x1,2,3,4，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率思维启迪：(1)先求基本事件总数，再求使 z4 的基本事件数(2)分别求 x1,2,3,4 时的基本事件，再根据古典概型求概率解析：(1)因为是投掷两次，因此基本事件是(b，c)，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共有 16 个基本事件
4、当 z4 时，(b，c)的所有取值为(1,3)、(3,1)，所以 P(z4)21618.(2)若方程一根为 x1，则 1bc0，即 bc1，不成立若方程一根为 x2，则 42bc0，即 2bc4，所以b1，c2.若方程一根为 x3，则 93bc0，即 3bc9，所以b2，c3.若方程一根为 x4，则 164bc0，即 4bc16，所以b3，c4.综合知，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以“漂亮方程”共有 3 个，方程为“漂亮方程”的概率为 P 316.热点三几何概型的概率计算 例 3 设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是 4 3 cm，现用直
5、径等于 2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率思维启迪：当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径 1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1 的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题解析：设 A硬币落下后与格线没有公共点，如图所示在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为 1，则等边三角形的边长为 4 32 32 3，由几何概率公式得P(A)34 2 3234 4 3214.热点四概率与统计的综合问题例 4 某班同学
6、利用国庆节进行社会实践，对25,55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图.组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组25,30)1200.6第二组30,35)195p第三组35,40)1000.5第四组40,45)a0.4第五组45,50)300.3第六组50,50)150.3(1)补全频率分布直方图并求 n，a，p 的值；(2)从年龄段在40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有
7、 1 人年龄在40,45)岁的概率解析：(1)第二组的频率为 1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高为0.35 0.06.频率分布直方图如图：第一组的人数为1200.6200，频率为 0.0450.2，所以 n2000.21 000.由题可知，第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 0000.3300，所以 p1953000.65.第四组的频率为 0.0350.15，所以第四组的人数为 1 0000.15150，所以 a1500.460.(2)因为40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 603021，所以采用分层抽样法抽取 6
8、 人，40,45)岁中有 4 人，45,50)岁中有 2 人设40,45)岁中的 4 人为 a，b，c，d，45,50)岁中的 2 人为 m，n，则选取 2 人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共 15 种；其中恰有 1 人年龄在40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共 8种所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40,45)岁的概率为 815.【专题突破】
9、1若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.23 B.25C.35D.910解析：五人录用三人共有 10 种不同方式，分别为：丙，丁，戊，乙，丁，戊，乙，丙，戊，乙，丙，丁，甲，丁，戊，甲，丙，戊，甲，丙，丁，甲，乙，戊，甲，乙，丁，甲，乙，丙其中含甲或乙的情况有 9 种，故选 D.答案：D2对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20,25)上为一等品，在区间15,20)和25,30)上为二等品，在区间10,15)和30,35上为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机
10、抽取 1 件，则其为二等品的概率是()A0.09 B0.20C0.25 D0.45解析：由频率分布直方图知识可知：在区间15,20)和25,30)上的概率为 0.0451(0.020.040.060.03)50.45.答案：D3从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等)，这 2 名都是女同学的概率等于_解析：从 3 男 3 女中任选两名，共有 15 种基本情况，而从 3 女中任选 2 名女同学，则有 3 种基本情况，故所求事件的概率为 31515.答案：154现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取2 道题解答试求：(1)所取的 2 道题
11、都是甲类题的概率；(2)所取的 2 道题不是同一类题的概率解析：(1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4；2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题，基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共 6 个，所以 P(A)61525.(2)基本事件同(1)，用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6
12、，3,5，3,6，4,5，4,6，共 8 个，所以 P(B)815.5某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有 5 名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的 A，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中 B 组一同学的分数已被污损，但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高1 分(1)若在 B 组学生中随机挑选 1 人，求其得分超过 85 分的概率；(2)现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学，设其分数分别为 m，n，求|mn|8 的概率解析：(1)A 组学生的平均分为94
13、88868077585(分)，B 组学生平均分为 86 分设被污损的分数为 x，则919383x75586，解得 x88，B 组学生的分数分别为 93,91,88,83,75，其中有 3 人的分数超过85 分在 B 组学生随机选 1 人，其所得分超过 85 分的概率为35.(2)A 组学生的分数分别是 94,88,86,80,77，在 A 组学生中随机抽取 2 名同学，其分组组成的基本事件(m，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共 10 个随机抽取 2 名同学的分数 m，n 满足|mn|8 的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共 6 个|mn|8 的概率为 61035.