1、吉林省松原市油田高中2015-2016学年高二下学期期中考数学一、选择题：共12题 1复数z=的虚部为A.2B.2C.2iD.2i【答案】B【解析】本题主要考查复数代数式的四则运算、复数的实部与虚部. z=,则虚部为,故选B. 2利用数学归纳法证明“”的过程中,由“n=k”变到“n=k1”时,不等式左边的变化是A.增加B.增加和C.增加,并减少D.增加和,并减少【答案】D【解析】本题主要考查数学归纳法,考查了分析推理与计算能力.由题意,当n=k时,左边=,当n=k+1时,左边=,两式左边相减可得,所以由“n=k”变到“n=k1”时,不等式左边的变化是增加和,并减少,故选D. 3若个人报名参加项
2、体育比赛,每个人限报一项,则不同的报名方法的种数有A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查分步乘法计数原理.因为每个人限报一项,所以每个人都有3种不同的报名方法,所以,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数有,故选C. 4若,则等于A.2B.4 C.2D.0【答案】B【解析】本题主要考查导数的运算法则,考查了赋值法的应用.因为,所以,则,所以,所以, 则,故选B. 5的展开式中,的系数等于,则等于A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查二项定理与定积分.因为的展开式中,的系数等于,所以,即,所以a=1,则,故选A. 63位数学家,4位物理学家,站成两排照像.其中前排3人后排4人,
3、要求数学家要相邻,则不同的排队方法共有A.5 040种B.840种C.720种D.432种【答案】D【解析】本题主要考查排列组合问题,考查了分类讨论思想与计算能力.当3位数学家站前排时,4位物理学家站在后排,有种不同的排队方法;当3位数学家站后排时,4位物理学家1人站后排3人站前排,有种不同的排队方法,因此不同的排队方法共有种,故选D. 7甲乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以的比分获胜的概率为A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查相互独立事件的概率.因为甲以的比分获胜,所以甲在第四局必定获胜,前3局甲获胜2局输1
4、局,所以甲以的比分获胜的概率,故选A. 8已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.48C.28或48D.1或28【答案】C【解析】本题考查二项式定理.由题意得=，令r=4，可得=5670，解得；所以展开式中各项系数的和是=28或48.选C. 9从中任取个不同的数,事件“取到的个数之和为偶数”,事件“取到的个数均为偶数”,则A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查条件概率.由题意, ,所以,故选B. 10在小语种提前招生考试中,某学校获得5个推荐名额,其中俄语2个,日语2个,西班牙语1个,日语和俄语都要求有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5名推荐对
5、象,则不同的推荐方法共有A.20种B.22种C.24种D.36种【答案】C【解析】本题主要考查计数原理中的分步乘法原理以及分类加法原理,考查考生分析问题、解决问题的能力.每个语种各推荐1名男生,共有=12种,3名男生都不参加西班牙语考试,共有=12种,故不同的推荐方法共有24种,选C. 11现有三个小球全部随机放入三个盒子中,设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数,则的数学期望为A.B.C.2D.【答案】A【解析】本题主要考查随机变量的分布列与期望,考查了计算能力.由题意,的可能值为1、2、3,则,所以的数学期望,故选A. 12设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是A.B.C.D.
6、【答案】C【解析】本题主要考查导数、函数的极值、三角函数、不等式,考查了存在问题与推理计算能力.由题意可知,且,再由可知,当最小时,最小,而|最小为,所以,解得,故选C.二、填空题：共4题 13若,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|= .【答案】【解析】本题主要考查复数代数式的四则运算与复数的模.因为,所以,所以,解得a=2,b=1,则|a+bi|=. 14将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子,每个盒子至少有一个球,则一共有_种放法.【答案】150【解析】本题主要考查排列组合问题,考查了分类讨论思想与计算能力.首先将5个球分成3份,有1、1、3与2、2、1两类不同
7、的分法,则不同的分法种数有,所以每个盒子至少有一个球,则一共有(. 15的展开式中含的项的系数是_.【答案】128【解析】本题主要考查二项式定理,考查了推理与计算能力.要得到的展开式中含的项的系数,则乘以展开式的项即可求得,通项Tr+1=,令得r=6,即T7=,所以展开式中含的项的系数. 16已知可导函数的导函数满足,则不等式的解集是 .【答案】【解析】本题主要考查构造函数、导数、函数的性质,考查了分析推理能力与计算能力.设,则,所以函数在R上是增函数,又不等式等价于,所以原不等式的解集是.三、解答题：共6题 17已知函数,其中为常数.(1)当时,求的极值;(2)若是区间内的单调函数,求实数的
8、取值范围.【答案】(1)当时,所以在区间内单调递减,在内单调递增,于是有极小值,无极大值.(2)易知在区间内单调递增,所以由题意可得在内无解,即或,解得实数的取值范围是.【解析】本题主要考查导数、函数的极值与性质,考查了恒成立问题与学生的计算能力.(1)当时,求出,判断函数的单调性,即可求出函数的极值;(2)易知在区间内单调递增,因为是区间内的单调函数,所以或,求解可得实数的取值范围. 18求由曲线,直线及轴所围成的图形的面积.【答案】由,得交点为,由定积分的几何意义得,曲线,直线及轴所围成的图形的面积为【解析】本题主要考查定积分、曲多边形的面积.解方程组求出交点坐标,则所围成的面积,求解可得
9、结果. 19已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍.(1)求n的值;(2)求展开式中二项式系数最大的项;(3)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)由已知得:.(2)通项,展开式中二项式系数最大的项是第3项(r=2):.(3)由(2)得:,即,所以展开式中所有的有理项为:.【解析】本题主要考查二项式定理,考查了计算与分析问题的能力.(1) 由已知得:,求出n的值;(2)因为n=4,所以展开式中二项式系数最大的项是第3项,利用通项求解即可;(3)由(2)得,即可求出展开式中所有的有理项. 20某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A,B两项技术指标需要检测,设各项技术指
10、标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.(1)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少?(2)任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率是多少?(3)任意依次抽取该种零件4个,设表示其中合格品的个数,求E与D.【答案】(1)设、两项技术指标达标的概率分别为、,由题意得:,解得:或,即,一个零件经过检测为合格品的概率为.(2)任意抽出5个零件进行检查,其中至多3个零件是合格品的概率为.(3)依题意知B(4,),.【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率、独立重复事件的概率、离散
11、型随机变量与二项分布的期望、方差,考查了学生的分析与推理能力、计算能力.(1)设、两项技术指标达标的概率分别为、,由题意得:,求出、,则一个零件经过检测为合格品的概率;(2) 任意抽出5个零件进行检查,其中至多3个零件是合格品的概率为;(3) 依题意知服从二项分布B(4,1/2),利用公式即可求出E与D. 21甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;(2)若左右手依次各取两球,称同一手中 两球颜色相同的取法为成
12、功取法,记两次取球(左右手依次各取两球为两次取球)的成功取法次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.【答案】(1)设事件为“两手所取的球不同色”,则.(2)依题意,的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为,右手所取的两球颜色相同的概率为,所以X的分布列为:.【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率、对立事件、离散型随机事件的分布列与期望,考查了学生的分析推理与计算能力.(1) 设事件为“两手所取的球不同色”,则;(2)依题意,的可能取值为0,1,2,再分别求出左手所取的两球颜色相同的概率,右手所取的两球颜色相同的概率,即求出每一个随机变量的概率,即可求出X的分布列和数学期
13、望. 22已知函数.(1)若,不等式恒成立,求实数的取值范围;(2)若,求证:.【答案】(1)由条件得在上恒成立.设,则.当时,;当时,所以,要使恒成立,必须.另一方面,当时,要使恒成立,必须,所以,满足条件的的取值范围是.(2)当时,不等式等价于.令,设,则,在上单调递增,所以,原不等式成立.【解析】本题主要考查导数、函数的性质、基本不等式,考查了恒成立问题与函数的构造,考查学生的推理与计算能力.(1)原不等式可化为在上恒成立,设,求出,判断的单调性,并求出的最大值;利用基本不等式,求出的最小值,即可求出a的取值范围;(2)时,不等式等价于.令,设,求出,判断单调性并求出最小值,即可证明结论.