1、模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知集合A=y|y-20,集合B=x|x2-2x0,则AB等于()A.0,+)B.(-,2C.0,2)(2,+)D.R解析:A=(2,+),B=0,2,AB=0,+).答案:A2.若集合A=x|2x-1|3,B=x2x+13-x0,则AB是()A.x|-1x-12或2x3B.x|2x3C.x|-12x2D.x|-1x-12解析:A=x|2x-1|3=x|-32x-13=x|-1x2,B=x|2x+13-x0=x|x3或x-12,AB=x|-1xa+b,(x-a)(y-b)0是xa,yb成立的()A.充分不必要条
2、件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若x+ya+b,(x-a)(y-b)0,由知,x-a与y-b同号;又由,得(x-a)+(y-b)0.故x-a0,y-b0,即xa,且yb.故充分性成立. 若xa,yb,则x-a0,y-b0, 故x+ya+b,(x-a)(y-b)0.故必要性也成立.故选C.答案:C4.若实数x,y满足|tan x|+|tan y|tan x+tan y|,且y,32,则|tan x-tan y|等于()A.tan x-tan yB.tan y-tan xC.tan x+tan yD.|tan y|-|tan x|解析:由|tan x|+|tan y|
3、tan x+tan y|,知tan x与tan y异号.y,32,tan y0,tan xbc2;acbc;a2b2.其中能分别成为ab的充分条件的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:ac2bc2ab,而ab不能推出ac2bc2,故ac2bc2是ab的充分条件;acbc不能推出ab,故不符合题意;a2b2不能推出ab,故不符合题意,综上所述只有符合题意.答案:B6.已知a1-a0,且x1,则下列不等式成立的是()A.axx1alogaxB.logaxaxx1aC.logaxx1aaxD.axlogax0,得0a1,所以logax0ax1n,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg
4、x)n+(lg x)-n,x1,则a与b的大小关系为()A.abB.abC.与x值有关,大小不定D.以上都不正确解析:a-b=(lg x)m+(lg x)-m-(lg x)n-(lg x)-n=(lg x)m-(lg x)n)-1(lgx)n-1(lgx)m=(lg x)m-(lg x)n)-(lgx)m-(lgx)n(lgx)m(lgx)n=(lg x)m-(lg x)n)1-1(lgx)m(lgx)n=(lg x)m-(lg x)n)1-1(lgx)m+n.x1,lg x0.当0lg xb;当lg x=1时,a=b;当lg x1时,ab.故选A.答案:A8.若k棱柱有f(k)个对角面,则k
5、+1棱柱有对角面的个数为()A.2f(k)B.k-1+f(k)C.f(k)+kD.f(k)+2解析:由n=k到n=k+1时增加的对角面的个数与底面上由n=k到n=k+1时增加的对角线的条数一样,设n=k时底面为A1A2Ak,n=k+1时底面为A1A2A3AkAk+1,增加的对角线为A2Ak+1,A3Ak+1,A4Ak+1,Ak-1Ak+1,A1Ak,共有k-1条,因此,对角面也增加了k-1个.答案:B9.已知x=a+1a-2(a2),y=12b2-2(byB.x9D.1A+1B+1Cb3+52+68+2158+212.同理可得bc.所以abc.答案:abc16.已知命题:a+b2ab;sin2
6、x+4sin2x4;设x,y都是正数,若1x+9y=1,则x+y的最小值是12;若|x-2|,|y-2|,则|x-y|2.其中所有真命题的序号是.解析:不正确,a,b的符号不确定;不正确,sin2x(0,1,利用函数y=x+4x的单调性可求得sin2x+4sin2x5;不正确,(x+y)1x+9y=10+yx+9xy10+6=16(当且仅当x=4,y=12时等号成立);正确,|x-y|=|x-2+2-y|x-2|+|2-y|+=2.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共74分)17.(12分)解不等式.:x+|2x-1|3.解:原不等式可化为2x-10,x+(2x-1)3或2x-10,x-(2
7、x-1)3.解得12x43或-2x12.所以原不等式的解集是x|-2x43.18.(12分)求数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+n+2+1,的前n项和Sn.解:由观察得a1=1=12,a2=1+2+1=22,a3=1+2+3+2+1=32,由以上计算可猜想1+2+n+2+1=n2.下面用数学归纳法证明an=n2.(1)已知数列中的第1项是1,又12=1,故当n=1时,猜想正确.(2)假设当n=k(kN*,且k1)时,猜想正确,即1+2+k+2+1=k2,则当n=k+1时,1+2+k+(k+1)+k+2+1=(1+2+k+2+1)+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2,即当
8、n=k+1时,猜想正确.根据(1)(2)可知,猜想对于任何nN*都正确.所以已知数列可以写成12,22,32,n2,.因此,这个数列的前n项之和为Sn=12+22+32+n2=16n(n+1)(2n+1).19.(12分)设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=Snn+2(n-1)(nN*).(1)求证:数列Snn为等差数列;(2)设数列1anan+1的前n项和为Tn,求证:15Tn14.证明(1)由题意,知nan=Sn+2n(n-1),n(Sn-Sn-1)=Sn+2n(n-1)(nN*,且n2)即(n-1)Sn-nSn-1=2n(n-1), Snn-Sn-1n-1=2,数列Snn为等差数
9、列.(2)由(1)得,Snn=1+(n-1)2,Sn=2n2-n,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3(nN*,且n2), 1anan+1=1(4n-3)(4n+1)=1414n-3-14n+1,Tn=141-15+15-19+14n-3-14n+1=141-14n+114.又Tn为增函数,TnT1=15,15Tn0.(1)当a=1时,求不等式f(x)3x+2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值.解:(1)当a=1时,f(x)3x+2可化为|x-1|2.由此可得x3或x-1.故不等式f(x)3x+2的解集为x|x3或x-1.(2)由f(
10、x)0,得|x-a|+3x0,此不等式化为不等式组为xa,x-a+3x0或xa,a-x+3x0.解得xa,xa4或x0,所以不等式组的解集为x|x-a2.由题设可得-a2=-1,所以a=2.21.(12分)某企业去年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元.今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今年为第一年)的利润为5001+12n万元(n为正数).(1)设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元
11、(需扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式;(2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?解:(1)依题设,An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2;Bn=5001+12+1+122+1+12n-600=500n-5002n-100.(2)Bn-An=500n-5002n-100-(490n-10n2)=10n2+10n-5002n-100=10n(n+1)-502n-10.由函数y=x(x+1)-502x-10在(0,+)上为增函数,又nN*,当1n3时,n(n+1)-502n-1012-5
12、08-100,即Bn0,即BnAn.故从今年起该企业至少经过4年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.22.(14分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个不同的公共点,若f(c)=0,且当0x0.(1)试比较1a与c的大小;(2)求证:-2b1,t0时,求证:at+2+bt+1+ct0.(1)解:f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,方程f(x)=0有两个不相等的实根x1,x2.f(c)=0,c是方程f(x)=0的一个实根.不妨设x1=c.x1x2=ca,x2=1a,且1ac.假设1a0,根据当0x0,得f1a0,这与f1a=0矛盾,故1ac.(2)证明f(c)=0,c0,ac+b+1=0,b=-1-ac.a0,c0,b-1.又-b2a=x1+x22c,得x2x1),-b2a0,b-2.-2b0,要证不等式成立,只要证明g(t)=(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c0.c10,f(1)0,即a+b+c0.又-2bb+2c0.二次函数g(t)的对称轴-a+2b+3c2(a+b+c)0时,g(t)g(0)=2c0.即原不等式成立.
