1、3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课时过关能力提升1.函数y=2x-x2的单调递增区间为()A.(-,2)B.(-,1)C.(1,+)D.(2,+)答案:B2.函数y=13x3-9x+5的单调递减区间为()A.(-,-3)和(0,3)B.(-3,3)C.(-3,0)D.(-,-3)和(3,+)答案:B3.在区间(a,b)内,f(x)0,且f(a)0,则在区间(a,b)内有()A.f(x)0B.f(x)0,知f(x)在区间(a,b)内是增函数.又f(a)0,故f(x)0.答案:A4.函数f(x)=ln x-ax(a0)的单调递增区间为()A.0,1aB.1a,+C.(0,+)D.
2、(0,a)解析:令f(x)=1x-a=1-axx0,则(ax-1)x0,所以0x0,f(x)在此区间上是增函数;在(-1,0)上,f(x)0,f(x)在此区间上是减函数;在(0,1)上,f(x)0,f(x)在此区间上是增函数.结合所给选项应选C.答案:C6.函数f(x)=sin x,x(0,2)的单调递减区间为.解析:f(x)=cos x,令f(x)0,即cos x0,f(x)在(-,2-3)上是增函数;当x(2-3,2+3)时,f(x)0,f(x)在(2+3,+)上是增函数.综上,f(x)的单调递增区间是(-,2-3)和(2+3,+),f(x)的单调递减区间是(2-3,2+3).答案:(-,
3、2-3)和(2+3,+)(2-3,2+3)8.若函数y=ax3-x在(-,+)上是减函数,则a的取值范围为.解析:y=3ax2-1,函数y=ax3-x在(-,+)上是减函数,3ax2-10在R上恒成立,当x=0时,恒成立,当x0时,a13x2恒成立.又13x20,a0.答案:(-,09.已知函数f(x)=x3+ax+8的单调递减区间为(-5,5),求函数f(x)的单调递增区间.分析:先根据f(x)在区间(-5,5)内为减函数求得a值,再应用导数求f(x)为增函数的区间.解:f(x)=3x2+a.在(-5,5)上函数f(x)是减函数,则-5,5是方程3x2+a=0的根.a=-75.此时,f(x)
4、=3x2-75.令f(x)0,则3x2-750.解得x5或x-5.函数y=f(x)的单调递增区间为(-,-5)和(5,+).10.已知函数f(x)=x3-ax-1,(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)内单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.(3)求证f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.分析:(1)利用函数的单调性与导数的关系可得到f(x)0在R上恒成立,然后用分离参数法可求参数a的范围.(2)若找到a的值满足不等式f(x)0在(-1,1)上恒成立,则a存在,否则不存在.(3)特值验证,若找到图象上点的坐标小于等于a,则命题得以证明.解:(1)由已知f(x)=3x2-a.f(x)在R上是增函数,f(x)=3x2-a0在R上恒成立,即当a3x2时,xR恒成立.3x20,只需a0.又当a=0时,f(x)=3x20,f(x)=x3-ax-1在实数集R上是增函数,a0.(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x1,3x23,只需a3.由求a的过程知当a3时,f(x)在(-1,1)上是减函数,故这样的实数a存在.实数a的取值范围为3,+).(3)f(-1)=a-2a,f(x)的图象不可能总在直线y=a上方.
