1、2.4向量的应用课时过关能力提升1.若直线l与向量a=(2,-2)平行,则其倾斜角等于()A.45B.135C.60D.120解析:由已知得l的斜率k=-22=-1,而tan 135=-1,所以l的倾斜角是135.答案:B2.在ABC中,有下列命题:AB-AC=BC;AB+BC+CA=0;若(AB+AC)(AB-AC)=0,则ABC为等腰三角形;若ACAB0,则ABC为锐角三角形.上述命题正确的是()A.B.C.D.解析:对于,应有AB-AC=CB,故错误;对于,由ACAB0,得|AC|AB|cos A0,cos A0.A为锐角.但B,C是否为锐角,不能确定,故错误;是正确的.答案:C3.一条
2、渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为()A.23 km/hB.2 km/hC.3 km/hD.3 km/h答案:A4.已知ABC的三个顶点A,B,C和平面内一点P,且PA+PB+PC=AB,则点P与ABC的位置关系是()A.点P在ABC内部B.点P在ABC外部C.点P在AB边上或其延长线上D.点P在AC边上解析:PA+PB+PC=AB,PA+PC=AB+BP=AP,即PC=2AP.A,C,P三点共线,即点P在AC边上.答案:D5.在四边形ABCD中,A(1,1),B32,0,C(2,3),D-52,2,则该四边形的面
3、积为()A.5B.25C.5D.10解析:因为AC=(1,2),BD=(-4,2),所以ACBD=1(-4)+22=0,故ACBD,所以四边形ABCD的面积为|AC|BD|2=12+22(-4)2+222=5,故选C.答案:C6.已知向量OF1=(4,-5),OF2=(-7,9)分别表示两个力f1,f2,则f1+f2的大小为.解析:f1+f2=OF1+OF2=(-3,4),|f1+f2|=32+42=5.答案:57.在ABC中,A(-1,2),B(3,1),C(2,-3),则AC边上的高所在的直线方程为.解析:与AC边平行的向量为AC=(3,-5).设P(x,y)是所求直线上任意一点,则BP=
4、(x-3,y-1),所以AC边上的高所在的直线方程为AC(x-3,y-1)=0,即3x-5y-4=0.答案:3x-5y-4=08.若正方形ABCD的边长为1,点P在线段AC上运动,则AP(PB+PD)的最大值是.解析:如图,以A为原点建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,1),可设P(x,x)(0x1).则有AP=(x,x),PB=(1-x,-x),PD=(-x,1-x),从而AP(PB+PD)=-4x2+2x=-4x-142+14,故当x=14时,AP(PB+PD)取最大值14.答案:149.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).(1)
5、若c=5,求sin A的值;(2)若A为钝角,求c的取值范围.解:(1)AB=(-3,-4),AC=(c-3,-4).若c=5,则AC=(2,-4),故cos A=cos=-6+16525=15,所以sin A=255.(2)若A为钝角,则ABAC0,c0,即-3c+9+16253,故c的取值范围是253,+.10.在ABC中,C=90,D是AB的中点,用向量法证明CD=12AB.分析找一组基底,分别表示CD和AB,转化为证明|CD|=12|AB|.证明如图,设CA=a,CB=b,则a与b的夹角为90,故ab=0.AB=b-a,CD=12(a+b),|CD|=12|a+b|=12(a+b)2=12|a|2+2ab+|b|2=12|a|2+|b|2,|AB|=|b-a|=(b-a)2=|b|2-2ab+|a|2=|a|2+|b|2.|CD|=12|AB|.CD=12AB.
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