1、天津市武清区天和城实验中学2020-2021学年高二数学上学期9月月考试题（含解析）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据直线的方程求得直线的斜率，然后利用斜率与倾斜角的关系求解.【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率设直线的倾斜角为，所以 ，因为 ，所以 .故选：A【点睛】本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.2. 若三点A(3，1)，B(2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于A. 2B. 3C. 9D. 9【答案】D【解析】试题分析：由得，b的值为-9，故选D
2、考点：本题主要考查直线方程，直线的斜率计算公式点评：简单题，可利用计算AB,AC的斜率相等，也可以先求直线AB的方程，再将点C坐标代入,求得b值3. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题，可先得到所求直线的斜率，然后利用点斜式，即可得到本题答案.【详解】因为所求直线垂直于直线，又直线的斜率为，所以所求直线的斜率，所以直线方程为，即.故选：A【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属基础题.4. 已知，则直线通过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限【答案】C【解析】【分析】将方程整理为一般式
3、，即可根据斜率以及轴上的截距判断直线经过的象限.【详解】等价于，根据题意，故直线必经过第一、三象限；又因为，故直线必经过第三、四象限，故直线必经过第一、三、四象限.故选：C.【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.5. 直线与（其中，），在同一坐标系中的图象是下图中的（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题得，再比较两直线的斜率和纵截距得解.【详解】由题得，.所以直线的斜率为，纵截距为；直线的斜率为，纵截距为；对于选项，斜率，纵截距，所以该选项错误；对于选项，斜率纵截距，所以该选项正确；对于选项，斜率，纵截距，所以该选项错误；对于选项，斜率，纵截距，
4、所以该选项错误；故选：B【点睛】本题主要考查直线的方程，考查直线的斜率和纵截距，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6. 直线（、）的倾斜角范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求直线的斜率并确定其范围，再利用倾斜角与斜率的关系，即可求解【详解】由题意，直线方程可化为：直线的斜率为设直线的倾斜角为故选：D【点睛】本题以直线为载体，考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查三角函数的性质，属于基础题7. 与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出直线交于轴交点，再设与直线平行直线方程，代入点的坐标得解.【详解
5、】设直线交于轴于点，令，则， 所求直线与平行，设，把代入得 所求直线方程为：故选：C【点睛】本题考查与直线平行的直线方程，属于基础题.8. 已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据，所在直线互相垂直，则由验证即可.【详解】因为，所在直线互相垂直，所以其斜率，经检验A，C，D故错误，而选项B满足，故选：B【点睛】本题主要考查直线的方程以及垂直关系的判断，属于基础题.9. 直线l与两直线y1和xy70分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，1)，则直线l的斜率为()A. B. C. D. 【答
6、案】D【解析】【分析】设出直线l的斜率为k，又直线l过M点，写出直线l的方程，然后分别联立直线l与已知的两方程，分别表示出A和B的坐标，根据中点坐标公式表示出M的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率【详解】设直线l的斜率为k，又直线l过M（1，1），则直线l的方程为y+1=k（x1），联立直线l与y=1，得到，解得x=，所以A（，1）；联立直线l与xy7=0，得到，解得x=，y=，所以B（，），又线段AB中点M（1，1），所以+=2，解得k=故选D【点睛】此题考查学生根据两直线方程求两直线的交点坐标，灵活运用中点坐标公式化简求值，考查学生计算能
7、力及逻辑推理能力，属于中档题10. 设点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）A. 或B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】由题意得，所求直线l的斜率k满足 或，求出即可.【详解】如图所示，由题意得，所求直线l的斜率k满足 或，即，或，或，即直线的斜率的取值范围是或.故选：A【点睛】本题主要考查直线的斜率公式的应用，属于基础题.二、填空题（每小题5分，共20分）11. 已知向量且与互相垂直，则k的值是_.【答案】【解析】分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由向量，则，因为与互相垂直，所以，即，解得.故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算以及空间的
8、向量积，属于基础题.12. 若直线经过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线的方程为_或_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将题意转化为直线在两坐标轴上的截距相等或相反且不等于0，按照两种情况设直线方程的截距式，再代入点的坐标可解得结果.【详解】依题意知，直线在两坐标轴上的截距相等或相反且不等于0，当直线在两坐标轴上的截距相等且不等于0时，设直线的方程为，因为直线经过点，所以，解得，此时直线的方程为，当直线在两坐标轴上的截距相反且不等于0时，设直线的方程为，因为直线经过点，所以，解得，此时直线的方程为，所以直线的方程为或.故答案为：，.【点睛】本题考查了直线方程的截距式，考
9、查了待定系数法求直线方程，属于基础题.13. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_.【答案】或【解析】【分析】分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可.【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为,则,故,化简得.当截距不为0时,设直线方程为,则.故,化简可得.故答案为：或.【点睛】本题主要考查了根据直线的截距关系式求解直线方程的问题,需要注意分截距为0与不为0两种情况进行求解.属于基础题.14. 在空间直角坐标系中，已知点，点在轴上，且点到点与其到点的距离相等，则点的坐标是_【答案】【解析】【分析】设，利用距离公式可得关于的方程，解方程后可得的坐标.【详解】设
10、由，得，解得 故答案为：.【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式的应用，此类问题，根据公式计算即可，本题属于容易题.15. 如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_ 【答案】【解析】【分析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.【详解】所以，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.三、解答题16. （1）当为何值时，直线：与直线：平行？（2）当为何值时，直线：与直线：垂直？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出两直线的斜率，再根据两直线平行，则斜率相等且在y轴上的截距不相等求解.（2）先求出两直线的斜率
11、，再根据两直线垂直，则斜率乘积等于-1求解.【详解】（1）因为，若直线：与直线：平行,则，解得.（2）因为，若直线：与直线：垂直，则，解得.【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17. 根据下列条件求直线方程：(1)已知直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1;(2)已知直线过两直线和的交点，且垂直于直线.【答案】（1）x2y20或2xy20;（2）3x-y+2=0【解析】试题分析：（1）先设出直线的点斜式方程，求出直线在坐标轴上的截距，表示出三角形的面积，即可求出其斜率，进而求出直线的方程（2）联立已知的两直线方程得到方程组，求出两直线的交点坐标，所求
12、的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于-1，根据直线x+3y+4=0的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可试题解析：（1） 设直线方程y-2=k（x+2），令x=0得令y=0得，由题意得，所以，即解得所以所求直线方程为x2y20或2xy20（2） 联立直线方程 +（-3）得：y=-1，把y=-1代入，解得x=-1，原方程组的解为所以两直线的交点坐标为（-1，-1），又因为直线x+3y+4=0的斜率为，所以所求直线的斜率为3，则所求直线的方程为：y+1=3（x+1），即3x-y+2=0考点：直线的点斜式方程、三角形的面积计算公式及分类讨论的思想方法18. 已知的三个
13、顶点，求：（1）边上的高所在直线的方程；（2）的垂直平分线所在直线的方程；（3）边的中线的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由斜率公式易知kAC，由垂直关系可得直线BD的斜率kBD，代入点斜式易得；（2）同理可得kEF，再由中点坐标公式可得线段BC的中点，同样可得方程；（3）由中点坐标公式可得AB中点，由两点可求斜率，进而可得方程试题解析：（1）由斜率公式易知kAC=-2，直线BD的斜率.又BD直线过点B（-4，0），代入点斜式易得直线BD的方程为：x-2y+4=0（2），又线段BC的中点为，EF所在直线的方程为y-2=-（x+）整理得所求的直线方程为：6x+8y-1
14、=0（3）AB中点为M（0，-3），kCM=-7直线CM的方程为y-（-3）=-7（x-0）即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，故所求的直线方程为：7x+y+3=0（-1x0）19. 如图，在三棱柱中，平面,，分别是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，交于点，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得则和平面的一个法向量，
15、结合向量的夹角公式，即可求解；（3）设，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）取的中点，连接，交于点，可知为的中点，连接，易知四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，所以，所以直线与平面所成角正弦值为.（3）假设在棱是存在一点，设，可得，由，可得，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，又由平面的一个法向量为，所以，因为平面与平面所成二面角为，可得，解得，此时，符合题意，所以在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为.【点睛】本题考查
16、了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，用向量，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】（1），因为，同理可得，所以（2）因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量计算线段的长度，考查了异面直线所成角的向量求法，属于中档题.