1、三直线的参数方程课时过关能力提升基础巩固1经过点M(2,7)且倾斜角为6的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是()A.x=2-32t,y=7+12t(t为参数)B.x=2+32t,y=7-12t(t为参数)C.x=2-32t,y=7-12t(t为参数)D.x=2+32t,y=7+12t(t为参数)解析根据直线参数方程的定义,得x=2+tcos6,y=7+tsin6(t为参数),即x=2+32t,y=7+12t(t为参数).答案D2若直线的参数方程为x=3+12t,y=3-32t(t为参数),则该直线的斜率为()A.3B.-3C.33D.-33解析直线的参数方程为x=3+12t,y=
2、3-32t,化为标准形式x=3+(-t)cos120,y=3+(-t)sin120(-t为参数),所以直线的倾斜角为120,斜率为-3.答案B3(2018北京朝阳区一模)若直线l的参数方程为x=-3t,y=1+3t(t为参数),则l的倾斜角大小为()A.6B.3C.23D.56解析由直线l的参数方程为x=-3t,y=1+3t(t为参数),可知直线l的普通方程为y=1-3x,所以直线l的斜率为-3,即倾斜角为23.答案C4直线x=2+3t,y=-1+t(t为参数)上与t1=0,t2=1对应的两点间的距离是()A.1B.10C.10D.22解析因为题目所给方程不是直线参数方程的标准形式,所以不能直
3、接由1-0=1求得距离,应将t1=0,t2=1分别代入方程得到两点坐标(2,-1)和(5,0).由两点间的距离公式求解,即(2-5)2+(-1-0)2=10.答案B5若x=x0-3,y=y0+4(为参数)与x=x0+tcos,y=y0+tsin(t为参数)表示同一条直线,则与t的关系是()A.=5tB.=-5tC.t=5D.t=-5解析比较x-x0,得-3=tcos ,比较y-y0,得4=tsin .消去的三角函数,得252=t2,得t=5.借助于直线的斜率,可排除t=-5,所以t=5.答案C6已知P1,P2是直线x=1+12t,y=-2+32t(t为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为t1
4、,t2,则线段P1P2的中点到点P(1,-2)的距离是()A.|t1|+|t2|2B.|t1+t2|2C.|t1-t2|2D.|t1|-|t2|2解析由t的几何意义可知,P1P2的中点对应的参数为t1+t22,P对应的参数为t=0,故它到点P的距离为|t1+t2|2.答案B7过点P(-3,0)且倾斜角为30的直线的参数方程为.答案x=-3+32t,y=12t(t为参数)8已知直线l1:x=1+3t,y=2-4t(t为参数)与直线l2:2x-4y=5相交于点B,且点A(1,2),则|AB|=.解析将x=1+3t,y=2-4t代入2x-4y=5,得t=12,则B52,0.又A(1,2),所以|AB
5、|=52.答案529已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在直线l上,写出直线l的参数方程,并求点P到点M(5,4)和点N(-2,6)的距离.解由直线方程3x-4y+1=0可知,直线的斜率为34.设直线的倾斜角为,则tan =34,sin =35,cos =45.又点P(1,1)在直线l上,所以直线l的参数方程为x=1+45t,y=1+35t(t为参数).因为35-44+1=0,所以点M在直线l上.由1+45t=5,得t=5,即点P到点M的距离为5.因为点N不在直线l上,根据两点之间的距离公式,可得|PN|=(1+2)2+(1-6)2=34.10在平面直角坐标系xOy中,已知直线
6、l的参数方程为x=1-22t,y=2+22t(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.解将直线l的参数方程x=1-22t,y=2+22t代入抛物线方程y2=4x,得2+22t2=41-22t.解得t1=0,t2=-82.所以AB=|t1-t2|=82.能力提升1对于参数方程x=1-tcos30,y=2+tsin30(t为参数)和x=1+tcos30,y=2-tsin30(t为参数),下列结论正确的是()A.倾斜角为30的两条平行直线B.倾斜角为150的两条重合直线C.两条垂直且相交于点(1,2)的直线D.两条不垂直且相交于点(1,2)的直线解析因为参数方程x=1-
7、tcos30,y=2+tsin30可化为标准形式x=1+tcos150,y=2+tsin150,所以其倾斜角为150.同理,参数方程x=1+tcos30,y=2-tsin30可化为标准形式x=1+(-t)cos150,y=2+(-t)sin150,所以其倾斜角也为150.又因为两条直线都过点(1,2),所以两条直线重合.答案B2直线x=-2-2t,y=3+2t(t为参数)上与点P(-2,3)的距离等于2的点的坐标是()A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)解析直线的参数方程化为标准形式为x=-2-222t=-2-22t,y=3+222t=3+
8、22t(t为参数,且t=2t),由参数t的几何意义可知|t|=2,即t=2.当t=2时,x=-3,y=4;当t=-2时,x=-1,y=2.故选C.答案C3下列可以作为直线2x-y+1=0的参数方程的是()A.x=1+t,y=3+t(t为参数)B.x=1-t,y=5-2t(t为参数)C.x=-t,y=1-2t(t为参数)D.x=2+255t,y=5+55t(t为参数)解析题目所给的直线的斜率为2,选项A中直线的斜率为1,选项D中直线的斜率为12,所以可排除选项A,D.而选项B中直线的普通方程为2x-y+3=0,故选C.答案C4过点(0,2)且与直线x=2+t,y=1+3t(t为参数)互相垂直的直
9、线方程为()A.x=3t,y=2+t(t为参数)B.x=-3t,y=2+t(t为参数)C.x=-3t,y=2-t(t为参数)D.x=2-3t,y=t(t为参数)解析把直线x=2+t,y=1+3t(t为参数)消去参数,化为普通方程为y=3x+1-23,即已知直线的斜率为3,则所求直线的斜率为-33,倾斜角为56,故要求的直线的参数方程为x=-3t,y=2+t(t为参数),故选B.答案B5曲线x=-2+5t,y=1-2t(t为参数)与坐标轴的交点是.解析当x=0时,t=25,而y=1-2t,则y=15.故直线与y轴的交点坐标为0,15;当y=0时,t=12,而x=-2+5t,则x=12.故直线与x
10、轴的交点坐标为12,0.答案0,15,12,06已知直线l经过点M0(1,5),倾斜角为3,且交直线x-y-2=0于点M,则|MM0|=.解析由题意可得直线l的参数方程为x=1+12t,y=5+32t(t为参数),将其代入直线方程x-y-2=0,得1+12t-5+32t-2=0,解得t=-6(3+1).根据 t的几何意义可知|MM0|=6(3+1).答案6(3+1)7求直线l1:x=4+613t,y=3+413t(t为参数)与直线l2:x+y-2=0的交点到定点(4,3)的距离.解因为l1的参数方程可化为x=4+3132t=4+313t,y=3+2132t=3+213t(t为参数,且t=2t)
11、,把l1的参数方程的标准形式代入x+y-2=0中,得4+313 t+3+213 t-2=0.解得t=-13,所以|t|=13.由|t|的几何意义知|t|为交点到点(4,3)的距离.故所求的距离为|t|=13.8在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为sin2=4cos ,直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-4+22t(t为参数),曲线C与直线l相交于M,N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若P(-2,-4),求|PM|+|PN|的值.解(1)曲线C的直角坐标方程为y2=4x,直线l的普通方程为x-y-2=0.
12、(2)直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-4+22t(t为参数),将其代入y2=4x,得t2-122t+48=0.设M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=122,所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=122.9已知直线l是过点P(-1,2),方向向量为n=(-1,3)的直线,圆的极坐标方程为=2cos+3.(1)求直线l的参数方程;(2)设直线l与圆相交于M,N两点,求|PM|PN|的值.解(1)因为n=(-1,3),所以直线的倾斜角=23.所以直线的参数方程为x=-1+tcos 23,y=2+tsin 23(t为参数),即x=-1-12t,y=2+32t(t为参数).(2)因为=212cos-32sin=cos -3sin ,所以2=cos -3sin .所以x2+y2-x+3y=0.将直线的参数方程代入得t2+(3+23)t+6+23=0.所以|t1t2|=6+23.故|PM|PN|=6+23.
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