1、五与圆有关的比例线段课时过关能力提升基础巩固1已知圆内两弦相交,其中一条弦长为8 cm,且被交点平分,另一条被交点分为14的两部分,则这条弦长为()A.2 cmB.8 cmC.10 cmD.16 cm解析设所求弦长为5k cm,则由相交弦定理得42=k4k,则k=2,k=-2(舍去),故所求弦长为5k=52=10(cm).答案C2如图,CD是O的直径,ABCD,垂足为点P,若AP=4,PD=2,则PO等于()A.2B.3C.5D.7解析设O的半径为r,APPB=CPPD,AP=PB=4,PD=2,42=(2r-2)2,r=5.PO=r-2=3.答案B3如图,PT是外切两圆的公切线,T为切点,P
2、AB,PCD分别为这两圆的割线.若PA=3,PB=6,PC=2,则PD等于()A.4B.8C.9D.12解析PT2=PAPB=PCPD,则PD=PAPBPC=362=9.答案C4已知O的弦AB过弦CD的三等分点M,AM和BM是方程3x2+2mx+18=0的两个根,则CD的长为()A.3B.23C.33D.43解析AM和BM是3x2+2mx+18=0的两根,AMBM=183=6.又AB和CD相交于点M,CMMD=AMBM=6.13CD23CD=6,CD=33.答案C5如图,A,B,C是O上的三点,BE切O于点B,D是CE与O的交点.若BAC=70,则CBE=;若BE=2,CE=4,则CD=.解析
3、由于BE是O的切线,则CBE=BAC=70.由切割线定理,知EB2=EDEC.又BE=2,CE=4,则ED=EB2EC=1.所以CD=CE-ED=3.答案7036从圆外一点P向圆引两条割线PAB,PCD,分别与圆相交于点A,B,C,D,如果PA=4,PC=3,CD=5,那么AB=.解析由割线定理,得PAPB=PCPD,故4(4+AB)=3(3+5),解得AB=2.答案27如图,P为O外一点,过P点作O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB=.解析由题意知PA=PB.PA切O于点A,由切割线定理,得QA2=QCQD=1(1+3)=4.QA
4、=2,PA=22=4=PB.答案48如图,从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC,已知PA=22,PC=4,圆心O到BC的距离为3,则圆O的半径为.解析如图,取BC的中点D,连接OD和OB,则ODBC.已知OD=3,则BC=2BD=2OB2-OD2=2OB2-3.由于PA是圆O的切线,所以PA2=PBPC.又PA=22,PC=4,所以PB=PA2PC=2.则BC=PC-PB=2.所以2OB2-3=2,解得OB=2,即圆O的半径为2.答案29如图,已知P为O外一点,OP与O交于点A,割线PBC与O交于点B,C,且PB=BC.如果OA=7,PA=2,求PC的长.解如图,延长PO交O于点E,则P
5、APE=PBPC.设PC=x,又PB=BC,PB=12x.又PE=PA+AE=PA+2AO=16,216=12xx,解得x=8.又x0,x=8.PC=8.10如图,过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC与圆交于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,求AB的长.解PA是圆的切线,PBC是圆的割线,PAB=PCA.又P=P,PABPCA.PBPA=PAPC,即PA2=PBPC=PB(PB+BC),即36=PB(PB+9),解得PB=3.又由ABAC=PAPC得,AB8=612,解得AB=4.能力提升1如图,已知PA,PB为O的切线,切点分别为A,B,PA=7,在劣弧AB上任取一点
6、C,过点C作O的切线,分别交PA,PB于点D,E,则PDE的周长是()A.7B.10C.14D.28解析DA,DC为O的切线,DA=DC.同理EB=EC.PDE的周长=PD+PE+DE=(PD+DC)+(PE+CE)=(PD+DA)+(PE+EB)=PA+PB=7+7=14.答案C2如图,在半径为7的O中,弦AB,CD相交于点P,若PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为()A.12B.32C.33D.3解析由相交弦定理得PAPB=PCPD.又PA=PB=2,PD=1,则PC=4,CD=PC+PD=5.如图,过圆心O作CD的垂线OE交CD于点E,则E为CD的中点,OE=r2-CD22
7、=7-254=32.答案B3如图,ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为.解析已知AE为圆的切线,由切割线定理,得AE2=EBED.又AE=6,BD=5,可解得EB=4.EAB为弦切角,且AB=AC,EAB=ACB=ABC.EABC.又BDAC,四边形EBCA为平行四边形.BC=AE=6,AC=EB=4.由BDAC,得ACFDBF,CFBF=ACBD=45.又CF+BF=BC=6,CF=83.答案834如图,ABC内接于圆O,直线l平行AC交线段BC于点D,交线段AB于点E
8、,交圆O于点G,点F,交圆O在点A的切线于点P.若点D是BC的中点,PE=6,ED=4,EF=6,则PA的长为.解析D是BC的中点,DEAC,AE=BE,且BDE=C.又PA切圆O于点A,PAE=C,可得BDE=PAE.BED=PEA,BEDPEA,可得DEAE=BEPE.BEAE=AE2=PEED=24,解得AE=26.AE2=GEEF,GE=4.PG=2.PA2=PGPF=24.PA=26.答案265O为ABC的内切圆,AB=9,BC=8,CA=10,点D,E分别为AB,AC上的点,且DE为O的切线,求ADE的周长.解如图,设O与ABC各边的切点分别为F,G,H,则AF=AH,BF=BG,
9、CG=CH,且AF+BF=9,BG+CG=8,CH+AH=10,AF=AH=5.5,BF=BG=3.5,CG=CH=4.5.又DE是O的切线,DI=DF,EI=EH.ADE的周长=AD+DE+EA=AD+DI+EI+EA=AF+AH=2AF=25.5=11.6如图,已知O1与O2相交于A,B两点,过点A作O1的切线交O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交O1,O2于点D,E,DE与AC相交于点P.(1)求证:ADEC.(2)若AD是O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.分析(1)转化为证明D=E;(2)先利用PA2=PBPD求出PB的长,再利用相交弦定理求出PE的长,再由AD
10、2=DBDE求AD的长.(1)证明连接AB,如图.AC与O1相切,BAC=ADB.又BAC=BEC,ADB=BEC,ADEC.(2)解PA与O1相切,PA2=PBPD.又PD=PB+BD=PB+9,62=PB(PB+9),解得PB=3(负值舍去).又BE与AC交于点P,BPPE=APPC,3PE=62,PE=4,DE=DB+BP+PE=9+3+4=16.又DA与O2相切,DA2=DBDE=916=144.AD=12.7如图,直线AB经过O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,O交直线OB于E,D两点,连接EC,CD.(1)求证:直线AB是O的切线.(2)若tanCED=12,O的半径为3,求OA的长.分析(1)转化为证明OCAB即可;(2)先证明BCDBEC,再借助于对应边成比例,解方程得OA的长.(1)证明如图,连接OC.OA=OB,CA=CB,OCAB.AB是O的切线.(2)解ED是直径,ECD=90.在RtECD中,tanCED=CDEC=12.BC是O的切线,BC2=BDBE,BCD=E.又CBD=EBC,BCDBEC.BDBC=CDEC=12.设OA=x,则BD=OB-OD=x-3,BC=2BD=2(x-3),BE=BO+OE=x+3,2(x-3)2=(x-3)(x+3),解得x=5或x=3(舍去).OA=5.
