1、第四章平面向量与复数第1讲平面向量的概念及线性运算考纲解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义(重点)3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查预测2021年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量向量的模向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或
2、称模)|a|或|零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量与非零向量a共线的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向
3、相同；当|b|，则abC若ab，则ab D若|a|0，则a0答案C解析A错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B错误，向量不能比较大小；C正确，若ab，则a与b方向相同，故ab；D错误，若|a|0，则a0.(2)设a，b是不共线的两个向量，已知a2b，4a4b，a2b，则()AA，B，D三点共线 BA，C，D三点共线CA，B，C三点共线 DB，C，D三点共线答案B解析因为a2b，所以a2b，所以(a2b)(4a4b)3a6b3(a2b)3.所以，所以A，C，D三点共线(3)已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，则_，_(用a，b表示)答案baab解析因为四边形ABCD是平行四
4、边形，所以，a，所以ba，ab.题型一平面向量的基本概念1设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.2下列叙述错误的是_(填序号)已知向量ab，且|a|b|0，则向量ab的方向与向量a的方向相同；|a|b|ab|a与b方向相同；向量b与向量a共线的
5、充要条件是有且只有一个实数，使得ba；0；若ab，则ab.答案解析对于，当a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；当a和b方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同对于，当a，b之一为零向量时结论不成立对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0时，不存在对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以0.对于，当0时，无论a与b的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有ab.故均错误有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题
6、时，不要把它与函数图象的移动混淆.(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，是与a反方向的单位向量.(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.1.给出下列说法：若A，B，C，D是不共线的四个点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等；若ab，bc，则ac.其中正确说法的序号是()A. B C D答案A解析正确；错误，因为a，b的方向不一定相同；错误，.2.(2020烟台模拟)(多选)下列命题中，不正确的是()A.若两个向量相等，则它们的起
7、点和终点分别重合B.若|a|b|，则ab或abC.若a0(为实数)，则必为零D.已知，为实数，若ab，则a与b共线答案ABCD解析A错误，如在ABCD中，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；B错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；C错误，若a0(为实数)，则0或a0；D错误，当0时，ab0，但a与b不一定共线故选ABCD.题型二向量的线性运算1.下列四个结论：0；0；0；0.其中一定正确的结论个数是()A.1 B2 C3 D4答案C解析正确；错误，0；正确，()()0；正确，()()0.2.(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.答案A
8、解析根据向量的运算法则，可得()，故选A.3.在ABC中，D为AB的中点，点E满足20，则_(用，表示).答案解析因为D为AB的中点，所以，所以.又因为20，所以2()()0，所以32，所以.1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.2.向量线性运算的两个常用结论(1)在ABC中，AD为BC边上的中线，则()，如举例说明2.(2)O为ABC的重心的充要条件是0.1.在ABC中，若点D满足2，点M为AC的中点，则()A. B.
9、C. D.答案A解析().2(2019衡水模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且2，则()A. B.C. D.答案C解析因为2，所以，又因为，所以，所以().题型三共线向量定理的应用角度1证明向量共线或三点共线1.已知平面内一点P及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是()A.点P在线段AB上 B点P在线段BC上C.点P在线段AC上 D点P在ABC外部答案C解析因为，所以2，所以A，P，C三点共线，且P是线段AC的三等分点(靠近A).角度2由向量共线求参数的值2.(2019安徽合肥一中高考模拟)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且，连接AC，
10、MN交于点P，若，则点N在AD上的位置为()AAD中点B.AD上靠近点D的三等分点C.AD上靠近点D的四等分点D.AD上靠近点D的五等分点答案B解析设，因为()，又M，N，P三点共线，所以1，解得，所以，所以点N是AD上靠近点D的三等分点.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三
11、点共线(1t)t(O为平面内任一点，tR).(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.1.在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A.矩形 B平行四边形C.梯形 D以上都不对答案C解析(a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2，所以ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD是梯形.2.设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值.解(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又A与B有公共点B，A，B，D三点共线.(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F三点共线，(R)，即3e1ke2e14e2，解得k12.