1、第6讲离散型随机变量及其分布列考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列(重点、难点)3.理解超几何分布，并能进行简单的应用.考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点内容预测2021年将会考查：与排列组合及统计知识结合的分布列；与独立重复事件结合的分布列试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，试题难度不大，属中档题型.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随
2、机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0(i1,2，n)；.3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1pp，其中pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其
3、中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.X01mP如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布1概念辨析(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布()(4)若随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的可能取值为()A0,1 B1,2C0,1,2 D0,1,2,3答案C解析由于只有2件
4、次品，所以的可能取值为0,1,2.(2)设随机变量X的分布列如下X12345Pp则p为()A. B. C. D.答案C解析由分布列的性质得，p1，解得p.(3)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0 B. C. D.答案C解析P(X1)2P(X0)，且P(X1)P(X0)1.所以P(X0).故选C.(4)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是_答案解析设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中N6，M2，n3，则P(x1)P(x0)P(x1).题型一离散型随机变量分布列的性质1(2019乐山
5、三模)设随机变量X的概率分布表如表，X1234Pm则P(|X2|1)()A. B. C. D.答案C解析由|X2|1，可解得X3或X1，再由分布列的性质可得m1，P(|X2|1)P(X1)P(X3).2设随机变量的分布列Pak(k1,2,3,4,5)(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.解由已知分布列如下1Pa2a3a4a5a(1)由a2a3a4a5a1，得a.(2)PPPP(1).(3)因为只有，满足，故PPPP.结论探究在本例中的条件下，求51的分布列解由举例说明解析得的分布列如下P所以51的分布列如下5101234P1.分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参
6、数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数.2.随机变量X的线性组合的概率及分布列问题(1)随机变量X的线性组合aXb(a，bR)是随机变量.(2)求aXb的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.1.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下.X101P23qq2则q的值为()A.1 B.C. D.答案C解析由分布列的性质知解得q.2.(2019曲靖二模)已知随机变量的分布列如下.210123P若P( 2x)，则实数x的取值范围是()A.4x
7、9 B4x9C.x9答案A解析由随机变量的分布列，得2的可能取值为0,1,4,9，且P(20)，P(21)，P(24)，P(29)，由P(2x)，所以实数x的取值范围是4x9.题型二求离散型随机变量的分布列(2019长春模拟)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行了统计：点击量0,1000(1000,3000(3000，)节数61812(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数；(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课
8、进行剪辑，若点击量在区间0,1000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列.解(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3000的节数为62.(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间0,1000内的有1节，点击量在区间(1000,3000内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.P(X0)，P(X20)，P(X40)，P(X60)，则X的分布列如下.X0204060P离散型随机变量分布列的求解步骤(1)
9、明确取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义.(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率.(3)画表格：按规范要求形式写出分布列.(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.抛掷一枚质地均匀的硬币3次.(1)写出正面向上次数X的分布列；(2)求至少出现两次正面向上的概率.解(1)X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).所以X的分布列如下.X0123P(2)至少出现两次正面向上的概率为P(X2)P(X2)P(X
10、3).题型三超几何分布2019年8月的台风“利奇马”对我国多个省市的财产造成了重大损害，据统计直接经济损失达537.2亿元某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成5组：0,2000，(2000,4000，(4000,6000，(6000,8000，(8000,10000(单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户中损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶
11、，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列.解(1)记每个农户的平均损失为元，则(10000.0001530000.0002050000.0000970000.0000390000.00003)20003360.(2)由频率分布直方图，得损失超过4000元的农户共有(0.000090.000030.00003)20005015(户)，损失超过8000元的农户共有0.000032000503(户)，随机抽取2户，则X的可能取值为0,1,2；P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以X的分布列如下.X012P1.超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题.(2)随机变量为抽到的某
12、类个体的个数.2.超几何分布的应用条件(1)考察对象分两类.(2)已知各类对象的个数.(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布.3.求超几何分布的分布列的步骤已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.解(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3).所以，随机变量X的分布列如下.X0123P设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥，由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1).所以，事件A发生的概率为.