1、第五章数列第1讲数列的概念与简单表示法考纲解读1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数.2.掌握数列求通项的几种常用方法：利用Sn与an的关系求通项；利用递推关系求通项(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题预测2021年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：由Sn求an；由递推关系求an；根据anf(n)求最值题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.1数列的有关概念数列按照一定的次序排列起来的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n
2、项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表达前n项和Sna1a2an数列的函数特征数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数anf(n)2数列的分类3数列an的an与Sn的关系(1)数列an的前n项和：Sna1a2an.(2)an特别提醒：若当n2时求出的an也适合n1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示1概念辨析 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点()(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有
3、an1Sn1Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)已知数列，则5是它的()A第19项B第20项C第21项D第22项答案C解析5，1255(n1)6，n21.故选C.(2)设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15B16C49D64答案A解析a8S8S7827215.(3)在数列an中，已知a11，an14an1，则a3_.答案21解析a24a115，a34a2121.(4)数列，的一个通项公式an_.答案(nN*)解析观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式an(nN*)题型一知数列前几项求通项
4、公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)1,0，0，0，0，；(4)，1，.解(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an.(3)把数列改写成，分母依次为1,2,3，而分子1,0,1,0，周期性出现，因此数列的通项可表示为an或an.(4)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5
5、,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，所以可得它的一个通项公式为an.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；各项的符号特征和绝对值特征；对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明(4)；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理如举例说明(1).根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，；(2)，；(
6、3)，2，8，；(4)5,55,555,5555，.解(1)这是一个分数数列，分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an.(2)数列可以改为，则分母为2n，分子为2n3，所以数列的一个通项公式为an(1)n.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1).题型二由an与Sn的关系求通项公式1.
7、已知Sn3n2n1，则an_.答案解析因为当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于a1不适合此式，所以an2.设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析由已知得an1Sn1SnSnSn1，两边同时除以SnSn1得1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)(1)n，即Sn.条件探究将本例中的条件“a11，an1SnSn1”改为“Sn(1)n1n”，则a5a6_，an_.答案2(1)n1(2n1)解析因为a5a6S6S4(6)(4)2，当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1(1)n1n(1
8、)n(n1)(1)n1n(n1)(1)n1(2n1)，又a1也适合此式，所以an(1)n1(2n1).1.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式.(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写如举例说明1.2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式如举例说明2.(2)利用SnSn1an(n2
9、)转化为只含an，an1的关系式，再求解如举例说明2的条件探究.1.(2017全国卷改编)设数列an满足a13a2(2n1)an2n，则an_.答案(nN*)解析因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1).两式相减得(2n1)an2，所以an(n2).又由题设可得a12，满足上式，从而an的通项公式为an(nN*).2.若数列an的前n项和为Sn，首项a10，且2Snaan(nN*)求数列an的通项公式.解当n1时，2S1aa1，则a11.当n2时，anSnSn1，即(anan1)(anan11)0anan1或anan11，所以an(1)n1或ann.题
10、型三由递推关系求通项公式角度1形如an1anf(n)，求an1.已知数列an中，a12，an1anln ，求通项公式an.解an1anln ，anan1ln ln (n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1ln ln ln ln 222ln 2ln n(n2).又a12适合上式，故an2ln n(nN*).角度2形如an1anf(n)，求an2.已知数列an中，a11，anan1(n2)，求通项公式an.解anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时也满足此等式，an.角度3形如an1panq，求an3.已知数列an中，a11，an1
11、2an3，求通项公式an.解递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12antt3.故递推公式为an132(an3)，令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列，则bn42n12n1，所以an2n13.1.累加法求通项公式的四步骤2.累乘法求通项公式的四步骤3.构造法求通项公式的三步骤1.数列an中，a11，an1an2n，则通项公式an_.答案(nN*)解析an1an2n，an2an12n2，故an2an2.即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n为偶数时，a21，故ana22n1.当n为奇数时，an1an2n，an1n
12、(n1为偶数)，故ann.综上所述，an(nN*).2.在数列an中，a13，(3n2)an1(3n1)an(n1)，则an_.答案解析(3n2)an1(3n1)an，an1an，ana13，当n1时，满足此等式，an.3.设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式an_.答案解析因为(n1)anaan1an0，所以(an1an)(n1)an1nan0.又因为an0，所以an1an0，所以(n1)an1nan0，即，nN*.所以，以上各式相乘得.又a11，所以an.题型四数列的性质及应用1.已知an，那么数列an是()A.递减数列 B递增数列C.
13、常数列D摆动数列答案A解析an1，因为函数y1在(0.99，)上是减函数，所以数列an是递减数列.2.(2019大庆模拟)已知数列an的通项公式an(n2)n，则数列an的项取最大值时，n_.答案4或5解析因为an1an(n3)n1(n2)nnn.当n0，即an1an；当n4时，an1an0，即an1an；当n4时，an1an0，即an10数列an是递增数列；an1an0时，1数列an是递增数列；1数列an是递减数列；1数列an是常数列.当an1数列an是递减数列；0且a2a1(2a)aan2an2，可得0a1，故实数a的取值范围为(0,1).组基础关1如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n
14、个图形的边数为()A5n1B6nC5n1D4n2答案C解析第一个图形是六边形，即a16，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，所以a26511，a311516，观察可得选项C满足此条件2(2020秦皇岛质检)数列，的第10项是()ABCD答案C解析观察前4项可知，此数列的一个通项公式为an(1)n1，所以a10.3数列an中，an2n229n3，则此数列最大项的值是()A103B108C103D108答案D解析an2n229n323223.结合二次函数的性质可得此数列的最大项为a7108.4(2019沈阳模拟)已知数列an中a11，ann(an1an)(nN*)，则an()A2n1Bn
15、1CnDn2答案C解析解法一：特值法可确定C正确解法二：ann(an1an)，而，则ann.故选C.5(2019长春模拟)设数列an的前n项和为Sn，且a11，Snnan为常数列，则an()A.BC.D答案B解析由题意知，Snnan2，当n2时，(n1)an(n1)an1，从而，得an，n1时，上式也成立故选B.6(2019湖北八校联考)已知数列an满足an(nN*)，将数列an中的整数项按原来的顺序组成新数列bn，则b2019的末位数字为()A8B2C3D7答案D解析由an，可得数列an的整数项为2,3,7,8,12,13,17,18，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，因为201
16、945043，故b2019的末位数字为7.故选D.7(2019辽宁省葫芦岛市普通高中高三第二次模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”在某种玩法中，用an表示解下n(n9，nN*)个圆环所需的最少移动次数，an满足a11，且an则解下4个环所需的最少移动次数为()A7B10C12D22答案A解析依题意a42a312(2a22)122(2a11)217.8设数列an的前n项和为Sn，且Sn，若a432，则a1_.答案解析Sn，a432，32，a1.9(2019陕西商洛期中)在数列a
17、n中，已知an(1)nna(a为常数)，且a1a43a2，则a100_.答案97解析由题意，得a1a，a45a，a23a.因为a1a43a2，所以a5a3(3a)，解得a4，所以an(1)nn4，所以a100(1)100100497.10(2019河南省八市重点高中联盟“领军考试”高三第五次测评)在数列an中，a1a，an1(an1)cosn，Sn是数列an的前n项和，若S20192019，则a_.答案1010解析因为a1a，a2(a1)，a3a，a4a1，a5a，a6(a1)，a7a，所以数列an是周期为4的数列又因为a1a2a3a4a(a1)a(a1)2，故S2019504(2)a1a2a
18、31008a12019，则a1010.组能力关1(2020广东中山一中月考)已知数列1，则是该数列的()A第127项B第128项C第129项D第130项答案B解析将该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组1项：；第二组2项：，；第三组3项：，；第四组4项：，容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此应位于第十六组中第八位由12158128，得是该数列的第128项2已知数列an的通项公式为ann22n(nN*)，则“0，即2n12对任意的nN*都成立，于是有32，.由1可推得，但反过来，由不能得到1，因此“1时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.又a11，所以a2a1，a3a2，an1an2，anan1，将以上n个等式两端分别相乘，整理得an.当n1时，满足上式综上，an的通项公式an.5(2019银川模拟)已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是递减数列解(1)因为f(x)2x，f(log2an)2n，所以an2n，所以a2nan10，解得ann，因为an0，所以ann，nN*.(2)证明：0，所以an1an，所以数列an是递减数列