1、平面向量的应用一、选择题1. 如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是()A. B.2 C. D.3答案A2ABC的三个内角成等差数列，且()0，则ABC一定是()A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形C等边三角形 D钝角三角形解析ABC中BC边的中线又是BC边的高，故ABC为等腰三角形，又A，B，C成等差数列，故B.答案C3. 半圆的直径AB4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则()的值是()A2B1C2D无法确定，与C点位置有关解析 ()22.答案A4已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()
2、A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析(2x，y)，(3x，y)，(2x，y)(3x，y)(2x)(3x)y2x2.即y2x6.答案D5如图所示，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为() A3 B. C2 D.解析(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得.答案B【点评】 本题采用特殊点法，因为过点G的直线有无数条，其中包含平行于底边BC的直线，所以f(xy,xy)的值不随M、N的位置变化而变化.6已知点O，N，P在ABC所在的平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的 ()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重
3、心、垂心 D外心、重心、内心解析因为|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由0，得，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由得，0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心答案C7.已知平面上三点A、B、C满足|6，|8，|10，则的值等于()A100 B96C100 D96解析：|6， |8，|10，6282102.ABC为Rt.即0. ()|2100.答案：C二、填空题8.如图,在平行四边形ABCD中 ，APBD，垂足为P，且= .答案 189. AB
4、O三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足0，0，则的最小值为_解析 (x1，y)(1,0)x10，x1，x1，(x，y2)(0,2)2(y2)0，y2.(x，y)(1,2)2yx3.答案 310已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_解析|ab|2|ab|24ab4|a|b|cos40，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.答案11在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则()的值为_解析：|2|2|28，|，
5、2，()2|24.答案：412若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足，则_.解析(构造法)等边三角形的边长为2，如图建立直角坐标系，(，3)，(，3)，.(0,3).2.答案2【点评】 本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算三、解答题13已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos ，sin )，O为坐标原点(1) ，求sin 2的值(2)若|，且(，0)，求与的夹角解析：(1) (cos ，sin )(2,0)(cos 2，sin )(cos ，sin )(0,2)(cos ，sin 2)cos (cos 2)sin (sin 2)cos22cos sin22sin 12(sin c
6、os ).sin cos ，12sin cos ，sin 21.(2)(2,0)，(cos ，sin )，(2cos ，sin )，|.即44cos cos2sin27.4cos 2，即cos .0，.又(0,2)，cos ，.，.14在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若k(kR)(1)判断ABC的形状；(2)若c，求k的值解析(1)cbcos A，cacos B，又，bccos Aaccos B，sin Bcos Asin Acos B，即sin Acos Bsin Bcos A0，sin(AB)0，AB，AB，即ABC为等腰三角形(2)由(1)知，bccos Abck，c，k
7、1.15已知向量a(cos x，sin x)，b(cos x，cos x)，c(1,0)(1)若x，求向量a与c的夹角；(2)当x时，求函数f(x)2ab1的最大值，并求此时x的值解析(1)设a与c夹角为，当x时，a，cos .0，.(2)f(x)2ab12(cos2xsin xcos x)12sin xcos x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin，x，2x，故sin，当2x，即x时，f(x)max1.16已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围解析(1)mnsin cos cos2 sin sin ，mn1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A0.cos B，0B，B，0A.，sin.又f(x)sin.f(A)sin.故函数f(A)的取值范围是.