1、第2讲 不等式与线性规划 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2014大纲全国)不等式组xx20，|x|1的解集为()A.x|2x1B.x|1x0 C.x|0 x1 解析 由xx20，|x|0或x2，1x1，所以0 x1，所以原不等式组的解集为x|0 x0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.2.简单分式不等式的解法(1)fxgx0(0(0)；(2)fxgx0(0)f(x)g(x)0(0)且 g(x)0.3.指数不等式、对
2、数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.例 1 (1)已 知 一 元 二 次 不 等 式 f(x)0 的 解 集 为x|x12，则 f(10 x)0 的解集为()A.x|xlg 2B.x|1xlg 2D.x|xlg 2 解析 由已知条件 010 x12，解得 x0的解集为()A.x|x2或x2B.x|2x2 C.x|x4D.x|0 x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.故选C.C 思维升华(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大
3、于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.跟踪演练1(1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a_.解析 由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集为(2a,4a)，即x24a，x12a，由 x2x115，得 4a(2a)15，解得 a52.52(2)已知f(x)是R上的减函数，A(3，1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1ln x)|1的解集是_.解析|f(1ln x)|1，1f(1ln x)1，f(3)f(1ln x)f(0)，又f(x)在R上为减函数，01ln x3，1
4、ln x2，1ex0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值(简记为：和定，积有最大值).2 p14s2例 2(1)已知向量 a(3，2)，b(x，y1)，且 ab，若x，y 均为正数，则3x2y的最小值是()A.53B.83 C.8D.24解析 ab，3(y1)2x0，即2x3y3.x0，y0，3x2y(3x2y)13(2x3y)13(669yx 4xy)13(1226)8.当且仅当3y2x时取等号.答案 C(2)已知关于 x 的不等式 2x 2xa7 在 x(a，)上恒成立，则实数 a 的最小值
5、为()A.1B.32 C.2D.52解析 2x 2xa2(xa)2xa2a22xa 2xa2a42a，由题意可知 42a7，得 a32，即实数 a 的最小值为32，故选 B.B 思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.跟踪演练2(1)(2015天津)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值.解析 log2alog2(2b)log2a(1log2b)log2a1log2b22log2ab
6、122log281224，当且仅当log2a1log2b，即a2b时，等号成立，此时a4，b2.4(2)若直线 2axby20(a0，b0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，则1a1b的最小值是_.解析 易知圆x2y22x4y10的半径为2，圆心为(1,2)，因为直线2axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，所以直线2axby20(a0，b0)过圆心，把圆心坐标代入得：ab1，所以1a1b(1a1b)(ab)2baab4，当且仅当baab，ab1，即 ab12时等号成立.答案 4 热点三 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表
7、示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.例 3(1)(2015北京)若 x，y 满足xy0，xy1，x0，则 zx2y的最大值为()A.0B.1C.32D.2解析 可行域如图所示.目标函数化为 y12x12z，当直线 y12x12z 过点 A(0,1)时，z 取得最大值 2.答案 D(2)(2014安徽)x，y 满足约束条件xy20，x2y20，2xy20.若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为()A.12或1B.2 或12C.2 或 1D.2 或1解析 如图,由yaxz知z的几何意义是直线在y轴
8、上的截距，故当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0，b0，且a2b1，所以 ab12a2b12(a2b2)218，当且仅当 a2b12，即 a12，b14时，“”成立.故选 D.答案 D 1 2 3 42.已知 A(1，1)，B(x，y)，且实数 x，y 满足不等式组 2xy20，xy2，x2，则 zOA OB 的最小值为()A.2B.2C.4D.6 押题依据 线性规划是每年高考的热点，其实质是数形结合思想的应用.本题中目标函数用向量数量积形式给出，符合高考知识点交汇命题的思想.1 2 3 4解析 画出不等式组所表示的可行域为如图所示的ECD的内部(包括边界),其中E(
9、2,6)，C(2,0)，D(0,2).目标函数 zOA OB xy.令直线l：yxz，要使直线l过可行域上的点且在y轴上的截距z取得最大值，只需直线l过点E(2,6).此时z取得最小值，且最小值zmin264.故选C.答案 C 1 2 3 43.已知函数 f(x)x3x2 x2，log22xx2，x3x24或x2，log22x4，解得 x113 或14x2，故不等式 f(x)4 的解集为x|14x2 或 x113.答案 x|14x2 或 x113 1 2 3 44.已知不等式 2x115|a2a|对于 x2,6恒成立，则 a 的取值范围是_.押题依据“恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点.1 2 3 4解析 设 y 2x1，y2x12，故 y 2x1在 x2,6上单调递减，即 ymin 26125，故不等式 2x115|a2a|对于 x2,6恒成立等价于15|a2a|25恒成立，1 2 3 4化简得a2a20，a2a20，解得1a2，故a的取值范围是1,2.答案 1,2 谢谢观看