1、第六章不等式第1讲 不等式的概念与性质 考纲要求考点分布考情风向标1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景2011年大纲卷考查不等式基本性质不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题作差法abab0 abab0 abab0作商法(a，b0)(a，b0)(a，b0)1.两个实数比较大小的方法ab1abab1abbb，bc_可加性abacbc可乘性注意 c 的符号2.不等式的基本性质acacbcabc0 acbcabc0 _性质性质内容特别提醒同向可加性同向同正
2、可乘性可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b 同为正数可开方性(nN，n2)（续表）abcd acbdab0cd0 ac_bdab0 n a n b 1.(2011 年大纲)下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不)A必要的条件是(A.ab1C.a2b2B.ab1D.a3b3解析：即寻找命题P，使Pab，且ab 推不出P，逐项 验证知可选 A.2.(2013 年广东深圳二模)设 0ab1，则下列不等式成)D立的是(A.a3b3B.1a1 D.lg(ba)1b，所以 B 不正确；由指数函数的图象与性质可知：ab1，所以 C 不正确；由题意可知：ba(0,1).所以 lg(ba)0.所以 D
3、正确.3.(2012年广东汕头一模)如果aR，且a2a0，那么a，Da2，a，a2的大小关系式为()A.a2aa2a B.a2aaa2C.aa2aa2 D.aa2a2a解析：(特殊值法)aR，且 a2a0，可得1aa2a2a.故选 D.4.若22，则 的取值范围是_.(，0)考点 1 不等式的基本性质A.C.B.D.例 1：(1)若1a1b0，给出下列不等式：1ab 1ab；|a|b0；a1ab1b；lna2lnb2.其中正确的不等式是()解析：方法一，因为1a1b0，故可取 a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为 lna2ln(1)20，lnb2ln(2)2ln40，所以错误.综上
4、所述，可排除 A，B，D.方法二，由1a1b0，可知 ba0.中，因为 ab0，ab0，所以 1ab0，1ab0.故有 1ab 1ab，即正确；中，因为 ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；答案：C中，因为 ba0，又1a1b0，则1a1b0，所以 a1ab1b，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而ylnx在定义域(0，)上为增函数，所以lnb2lna2，故错误.由以上分析，知正确.(2)设 0ab，则下列不等式中正确的是()A.ab abab2B.a abab2 bC.a abbab2D.abaab2 b答案：B解析：方法一，已知 0a
5、b 和 abab2，比较 a 与 ab.a2(ab)2a(ab)0，a0，ab2 b.综上所述，a abab2 b.方法二，取 a2，b8，则 ab4，ab2 5.a abab2 b0，cdbcB.adbdD.acbd解析：cdd0，即1d1c0.又 ab0，有adbc0，即ada，cd0，ad0，bc0.adbc.错误.a0ba，ab0.cd0，cd0.a(c)(b)(d).acbd0.adbcacbdcd0.正确.cd，cd.ab，a(c)b(d)，即 acbd，正确.ab，dc0，a(dc)b(dc).正确.故选 C.考点 2 利用作差比较大小 例2：在等比数列an和等差数列bn中，a1
6、b10，a3b30，且 a1a3，试比较下列各组数的大小.(1)a2 与 b2；(2)a5 与 b5.又a1a3a1q2，q1.解：设an的公比为q，bn的公差为d，a3a1q2，b3b12da12d.a3b3，a1q2a12d，即 da1q212.(1)a2b2a1q(a1d)a1qa1q21212a1(q1)20，a20，a5b5.【规律方法】作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断差的符号.作差是依据，变形是手段，判断差的符号才是目的.常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法等.有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形式等.总之，变形到能
7、判断出差的符号为止.【互动探究】2.(2015 年浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为 a，b，c，且 abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.axbyczC.aybzcxB.azbycxD.aybxcz解析：由 xyz，ab0，故 axbyczazbycx；同理，aybzcx(aybxcz)b(zx)c(xz)(xz)(cb)0，故 aybzcxaybxcz.因为 azbycx(aybzcx)a(zy)b(yz)(a
8、b)(zy)0，故 azbycx1.f(n1)f(n)，即 f(n)单调递增.f(n)minf(1)15434 515.0a4 515.【规律方法】第(2)小题要分 k 为奇数和偶数两种情况来讨论；第(3)小题利用作商法判断数列的单调性.所谓作商法：若B判断商值与 1 的大小关系.指数不等式常用比商法证明.有时要用到指数函数的性质.如若a1，且x0，则ax1等.0，欲证 AB，只需证AB1.其步骤为：作商式、商式变形、3.比较1816与1618的大小.解：18161618181616 11629816 121698 216.98 2(0,1)，98 2161.16180，18161618.【互
9、动探究】易错、易混、易漏 忽略考虑等号能否同时成立 例题：设f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围.正解：方法一，设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab).即 4a2b(mn)a(nm)b.则有mn4，nm2.解得m3，n1.f(2)3f(1)f(1)，1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.5f(2)10.f(2)4a2b3f(1)f(1).1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.5f(2)10.方法二，由f1ab，f1ab，得a12f1f1，b12f1f1.图 6-1-1方法三，由1ab2
10、，2ab4确定的平面区域如图 6-1-1.当 f(2)4a2b 过点 A32，12 时，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110.5f(2)10.【失误与防范】本题主要考查多个不等式等号能否成立的 问题，可以考虑待定系数法、换元法和线性规划法，要特别注 意 1ab2,2ab4 中的 a，b 不是独立的，而是相互制 约的，因此无论用哪种方法都必须将 ab，ab 当作一个整体来看待.取得最小值 4322125.1.准确把握不等式的性质：对于不等式的性质，关键是理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件(特别是符号的限制条件)改变后，结论是否发生变化；不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两种情况，“单向性”主要用于证明不等式，“双向性”主要用于解不等式，因为解不等式必须是同解变形.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种办法，特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更方便.3.两个(多个)同向不等式可相加或相乘(注意限制条件)，但不能相减或相除.在求差或商的时候，可根据差、商分别是和、积的逆运算，先进行转化，再利用不等式的性质转化为同向不等式的相加或相乘.
