1、南京市宁海中学2020-2021学年第二学期期中考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知曲线在处的切线方程为，则分别为( )A3，3 B3，-1 C-1，3 D0，-12.设有下面四个命题P1：若复数z满足R，则zR；P2：若复数z满足z2R，则zR；P3：若复数z1，z2满足z1，z2R，则z1 ；p4：若复数zR，则R其中的真命题为()AP1，P3 BP1，P4 CP2，P3 DP2，P43已知(3x2)7a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，则a1a2a
2、3a4a5a6a7等于( )A1 B129 C-128 D214. 如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从A地出发，送货到C地，且途经B地，要求所走路程最短，共有（ ）种不同的走法.A 图1ABCA100 B80 C60 D40A 图1ABC5. 有四件不同的玩具全部分给三名小朋友，每位小朋友至少获得一件，共有（ ）种不同的分法A72 B36 C24 D126已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则ab的值为( ).A4 B7 C11 D4或117已知函数f(x)x(lnxax)在区间(0，)上有两个极值，则实数a的取值范围为( )A(0，e) B(0，) C(
3、0，) D(0，)8对于实数x，x表示不超过x的最大整数已知数列an的通项公式an，前n项和为Sn，则S1S2S40( )A105B130C125D120二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.设t是方程x2x10的根，则( ) At31 Bt1Ct是该方程的根 Dt2020是该方程的根10.已知数列是递减等差数列，其前n项和为,且,则下列结论正确的有A. 最大B.最小 C. 011.中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设a，b，m(m0)为整数，若a和b被m除得余数
4、相同，则称a和b对模m同余记为ab(modm)若aCC2C22230，ab(mod10)，则b的值可以是( )A2019B2020C2029D202212关于函数，x(，)，下列说法正确的是A当a1时，在x0处的切线方程为yxB若函数在(，)上恰有一个极值，则a0C对任意a0，0恒成立D当a1时，在(，)上恰有2个零点三、填空题：共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分13北京大兴国际机场为4F级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示若有2架飞往不同
5、目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有_种不同的安排方法(用数字作答) 14.(32x)(x1)5展开式中含x3项的系数为_15 已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)：甲： z2；乙： z2i；丙： z4；丁：在甲、乙、丙、丁四人的陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z_16若axb对于x(0，)恒成立，当a0时，b的最小值为_；当a0时，的最小值是_四、解答题：本题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)已知复数，（
6、为虚数单位）（1）若为实数，求的值；（2）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围.18 (本小题满分12分)有0，1，2，.,5共6个数字，现有一个五位数，每一位上的数字都是从以上6个数中选择（1） 这样的五位数共多少个？（2） 可以组成多少个没有重复数字的五位数，并且这样的五位数为偶数？（3） 没有重复数字的五位数中有多少个大于13000？19（本小题满分12分）已知函数，且.（1）求实数的值，并求在区间上的值域.（2）求曲线过点的切线方程；20.（本小题满分12分）已知等比数列an的各项均为整数，公比为q，且|q|1，数列an中有连续四项在集合M96，24，36，48，192
7、中(1) 求q的值，并写出数列an的一个通项公式； (2) 设数列an的前n项和为Sn，求证：数列Sn中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列21(本小题满分12分)(1)已知()n的展开式中，第6项与第4项的二项式系数之比为21：10求n的值；求展开式的常数项，并写出展开式中二项式系数最大的项是第几项？(2)求和：C2C3CkCnC22（本小题满分12分）已知函数，求函数的极值；求函数的单调区间；定义：同时相切于两条（或两条以上）的曲线的直线叫做两条（或两条以上）的曲线公切线。判断与是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数南京市宁海中学2020-2021学年
8、第二学期期中考试数学试卷参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知曲线在处的切线方程为，则分别为（ ）A3，3 B3，-1 C-1，3 D0，-1答案：D2.设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1，z2R，则z1 ；p4：若复数zR，则R其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4答案：B3已知(3x2)7a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，则a1a2a3a4a5a6
9、a7等于( )A1 B129 C-128 D21答案：B4. 如图1所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从A地出发，送货到C地，且途经B地，要求所走路程最短，共有（ ）种不同的走法.A 图1ABCA100 B80 C60 D40A 图1ABC答案：D5. 有四件不同的玩具全部分给三名小朋友，每位小朋友至少获得一件，共有（ ）种不同的分法A72 B36 C24 D12答案：B6已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则ab的值为( ).A4 B7 C11 D4或11答案：C7已知函数f(x)x(lnxax)在区间(0，)上有两个极值，则实数a的取值范围为( )A(0，e
10、) B(0，) C(0，) D(0，)答案：C8对于实数x，x表示不超过x的最大整数已知数列an的通项公式an，前n项和为Sn，则S1S2S40( )A105B130C125D120答案：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.设t是方程x2x10的根，则( ) At31 Bt1Ct是该方程的根 Dt2020是该方程的根答案：ABD10.已知数列是递减等差数列，其前n项和为,且,则下列结论正确的有A. 最大B.最小C. 0答案：ACD11.中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有
11、较深的研究设a，b，m(m0)为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余记为ab(modm)若aCC2C22230，ab(mod10)，则b的值可以是( )A2019B2020C2029D2022答案：AC12关于函数，x(，)，下列说法正确的是A当a1时，在x0处的切线方程为yxB若函数在(，)上恰有一个极值，则a0C对任意a0，0恒成立D当a1时，在(，)上恰有2个零点答案：ABD三、填空题：共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分13北京大兴国际机场为4F级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航目前建有“三纵一横”
12、4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有_种不同的安排方法(用数字作答) 答案：1014.(32x)(x1)5展开式中含x3项的系数为_答案：1015 已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)：甲： zz2；乙： zz2i；丙： zz4；丁：在甲、乙、丙、丁四人的陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z_答案：1i16若axb对于x(0，)恒成立，当a0时，b的最小值为_；当a0时，的最小值是_答案：1；四、解答题：本题共
13、6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)已知复数，（为虚数单位）（1）若为实数，求的值；（2）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围.解（1）.4分（2）由条件得，z1z2（）+（a23a4）i因为z1z2在复平面上对应点落在第一象限，故有解得2a1.10分19 (本小题12分)现有0，1，2，.,5共6个数字，现有一个五位数，每一位上的数字都是从以上6个数中选择（4） 这样的五位数共多少个？（5） 可以组成多少个没有重复数字的五位数，并且这样的五位数为偶数？（6） 没有重复数字的五位数中有多少个大于130
14、00？解（1）6480 .4分 （2）312.8分（3）552.12分19（本小题满分12分）已知函数，且.（1）求实数的值，并求在区间上的值域.（2）求曲线过点的切线方程；解：（1），由得， -1分由得或列表+00+增极大值减极小值0增 -5分由，结合列表可知：在区间上的值域为 -6分（2）设切点坐标为，则切线方程为：整理得：代入得即有 切线方程为或 -12分20.（本小题满分12分）已知等比数列an的各项均为整数，公比为q，且|q|1，数列an中有连续四项在集合M96，24，36，48，192中(1) 求q的值，并写出数列an的一个通项公式； (2) 设数列an的前n项和为Sn，求证：数列
15、Sn中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列解(1) 因为数列an有连续4项在集合M中，且M中只有3个元素为正数，所以这连续4项中必有一项为负数 .(1分)因为M中只有两个负数，所以这连续4项中必有正数，则这连续4项中有正数也有负数，所以q0，(2分)且正项和负项分别相间排列，则q24.又|q|1，所以q2，(4分)其中一个数列的通项公式为an3(2)n1.(5分)(答案不唯一，an3(2)n1，an6(2)n1，an12(2)n1，an24(2)n1”，其他形式不给分)(2) 设等比数列an的首项为a1，则Sn.(7分)设数列Sn中的任意连续三项分别为Sn，Sn1，Sn2，则Sn1，
16、Sn2.(9分)因为2(2)n(2)n1(2)n2，(11分)所以2，则2SnSn1Sn2，所以SnSn1Sn2Sn，所以数列Sn中的任意连续三项按适当顺序排列后，能成等差数列(12分)21(本小题满分12分)(1)已知()n的展开式中，第6项与第4项的二项式系数之比为21：10求n的值；求展开式的常数项，并写出展开式中二项式系数最大的项是第几项？(2)求和：C2C3CkCnC解析：(1)依题意C：C21：10，即10C21C，解得n10，（2分）设第r1(0r10且rN)为常数项，又Tr1C()10r()r2rCx，解得r2，所以T2122C180展开式中二项式系数最大项是第6项(6分)(2
17、)解：方法一： 因为由kCknnC，得kCnC，所以C2CkCnCn(C+CCC)n2n1方法二：由二项式定理，有(1x)n1CxCx2CxkCxn，两边对x求导，得n(1x)n1C2CxkCxk1nCxn1令x1，得C2CkCnCn2n1（12分）22（本小题满分12分）已知函数，求函数的极值；求函数的单调区间；定义：同时相切于两条（或两条以上）的曲线的直线叫做两条（或两条以上）的曲线公切线。判断与是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数解：， 当时，在上恒成立，故是上的减函数，故不存在极值-1分当时，由得进一步 时，故在区间上是减函数 时，故在区间上是增函数当时有极小值，无极大值 -3分 （） 令， 时，恒成立， 故函数单调递增区间是，。当时，方程有两个不等的负根，易知恒成立， 故函数单调递增区间是，。当时，方程有两个不等的正根， 故函数单调递增区间是，；单调递减区间是，综上： -7分假设存在公切线，与、分别切于点则公切线即同时公切线即 -8分消去得（或者）是否存在公切线等价转化为方程在是否有解（或者等价转化为方程在R上是否有解）令 由（2）得F（x）在（0，1），（1，+）上递增，F(e)=0所以存在x1,使得F(x)=0,又F()=-F（x）,所以必有使得F（x2）=0故方程只有两解。即与是存在两条公切线。 -12分13