1、第5讲直线、平面垂直的判定与性质考纲解读掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空间图形的垂直关系的简单命题(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容预测2021年将会以以下两种方式进行考查：以几何体为载体考查线面垂直的判定和性质；根据垂直关系的性质进行转化试题以解答题第一问直接考查，难度不大，属中档题型.1直线与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2平面与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平
2、面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l3直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)范围：0，904二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)范围：0，1805必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线(3)过空间任一点有
3、且只有一条直线与已知平面垂直(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面1概念辨析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)下列命题中不正确的是()A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平
4、面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l答案A解析A错误，如图1所示，在长方体中，l，但l；B正确，设l，则内与l平行的直线都与平行；C正确，由面面垂直的判定可知；D正确，如图2所示，在平面内，作与交线的垂线m，在平面内作与的交线的垂线n，由得m，由得n，所以mn.可推出m，进而推出ml，所以l.(2)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAG平面EFH BAH平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF
5、答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAG平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；已证平面HAG平面AEF，若证HG平面AEF，只需证HGAG，已证AH平面EFH，则易得AHHG，故HGAG不成立，所以HG与平面AEF不垂直，D不正确故选B.(3)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_答案解析连接A1C1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1
6、D1所成的角因为ABBC2，所以A1B1B1C12，所以A1C1AC2，又AA11，所以AC13，所以sinAC1A1.(4)已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面，连接PA，PB，PC，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对答案4解析由于PD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD，由于AC平面PDB，所以平面PAC平面PDB，共4对题型一直线与平面的位置关系角度1直线与平面所成的角1(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8 B6 C8 D8答案C解析如图，
7、在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知AC1B30，因为AB2，tan30，所以BC12，从而求得CC12，所以该长方体的体积为V2228.故选C.角度2直线与平面垂直的判定和性质2(2019镇江模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点(1)若PD平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若ABPC，求证：CG平面PBD.证明(1)如图，连接OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，PD平面ACE，PD平面PBD，平面PBD平面ACEOE，PDOE，O为BD的中点，E为PB的
8、中点(2)在四棱锥PABCD中，ABPC，四边形ABCD是正方形，OCAB，PCOC，G为PO的中点，CGPO.又PC底面ABCD，BD底面ABCD，PCBD.而四边形ABCD是正方形，ACBD，AC，PC平面PAC，ACPCC，BD平面PAC，又CG平面PAC，BDCG.PO，BD平面PBD，POBDO，CG平面PBD.1.求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角.(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角如举例说明1.2.证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理
9、，这是主要证明方法如举例说明2(2).(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理. 1.已知一个正四棱柱的体对角线长为，且体对角线与底面所成的角的余弦值为，则该四棱柱的表面积为_.答案10解析由图可知，BD，DD12，底面边长AB1，所以所求表面积为4AA1AB2AB242121210.2如图，S是RtABC所在平面外一点，且SASBSC，D为斜边AC的中点.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，D
10、E，在RtABC中，D，E分别为AC，AB的中点.DEBC，DEAB，SASB，SEAB.又SEDEE，AB平面SDE.又SD平面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.(2)由于ABBC，则BDAC，由(1)可知，SD平面ABC，又BD平面ABC，SDBD，又SDACD，BD平面SAC.题型二面面垂直的判定与性质1如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB2，PABC，则二面角ABCP的大小为_.答案60解析因为AB为O的直径，所以ACBC，又PA平面ABC，所以PABC，可求得BCPC，所
11、以PCA为二面角ABCP的平面角因为ACB90，AB2，PABC，所以AC1，所以在RtPAC中，tanPCA.所以PCA60.结论探究在本例的条件下，二面角APBC的正切值为_.答案解析如图，过A作AFPC，垂足为F，过F作FEPB，垂足为E，连接AE，由举例说明1易得BC平面PAC.又AF平面PAC，所以AFBC.又PCBCC，所以AF平面PBC.所以PBAF，又PBEF，AFEFF，所以PB平面AEF，所以PBAE，所以AEF为二面角APBC的平面角，在RtPAC中，AC1，PA，PAC90.所以tanPCA，所以PCA60，所以CF1cos60，AF1sin60.在RtPBC中，PC2
12、，BC，PCB90，PB.由PEFPCB得，易知PF，所以，所以EF，在RtAEF中，tanAEF，即二面角APBC的正切值为.2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF.又ABAD，由点E在棱PC上(异于
13、点C)，所以点F异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.1.作二面角的平面角的方法(1)定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角如举例说明1.(2)垂线法：如图所示，作PO，垂足为O，作OAl，垂足为A，连接PA，则PAO为二面角l的平面角.(3)补棱法：在求解二面角问题时，若构成二面角的两个半平面没有明确的交线，则将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法或垂线法解题.(4)射影面积法：二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平
14、面上的射影图形面积时，都可利用射影面积公式求出二面角的大小.(5)向量法(最常用).(6)转化为线面角：如图，求l的二面角，即求AB与所成的角.2证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直加以解决如举例说明2(2). 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACB90，M是AB的中点，ACCBCC12.(1)求证：平面A1CM平面ABB1A1；(2)求点M到平面A1CB1的距离.解
15、(1)证明：由A1A平面ABC，CM平面ABC，得A1ACM.ACCB，M是AB的中点，ABCM.又A1AABA.CM平面ABB1A1，又CM平面A1CM，平面A1CM平面ABB1A1.(2)设点M到平面A1CB1的距离为h，由题意可知A1CCB1A1B12MC2，SA1CB1(2)22，SA1MB1S四边形ABB1A1222.由(1)可知CM平面ABB1A1，得VCA1MB1MCSA1MB1VMA1CB1hSA1CB1.点M到平面A1CB1的距离h.题型三平面图形的翻折问题 (2019南昌模拟)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC1，E，F是边DC的三等分点现将DAE，CBF分别沿AE，BF
16、折起，使得平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直.(1)若G为线段AB上一点，且AG1，求证：DG平面CBF；(2)求多面体CDABFE的体积.解(1)证明：如图，分别取AE，BF的中点M，N，连接DM，CN，MG，MN，因为ADDE1，ADE90，所以DMAE，且DM.因为BCCF1，BCF90，所以CNBF，且CN.因为平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直，所以DM平面ABFE，CN平面ABFE，所以DMCN，因为AMAGcos45，所以AMG90，所以AMG是以AG为斜边的等腰直角三角形，故MGA45，而FBA45，则MGFB，故平面DMG平面CBF，则DG平面CBF.(2)如
17、图，连接BE，DF，由(1)可知，DMCN，且DMCN，则四边形DMNC为平行四边形，故DCMN2.因为V多面体CDABFEVDABEVBEFCDVDABE3VBDEFVDABE3VDBEF，所以V多面体CDABFE3. 平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.解决此类问题的步骤为：(2019合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE中，ABCE，且AE2，AEC60，CDED，cosEDC.将CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP，得到如图2所示的四棱锥PABCE.(1)求证：AP平面ABCE；(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：ABl.证明(1)在CDE中，CDED，cosEDC，由余弦定理得CE2.连接AC，如图，AE2，AEC60，AC2.又AP，在PAE中，PA2AE2PE2，即APAE.同理，APAC.ACAEA，AC平面ABCE，AE平面ABCE，AP平面ABCE.(2)ABCE，且CE平面PCE，AB平面PCE，AB平面PCE.又平面PAB平面PCEl，ABl.
