1、第7讲 空间中角与距离的计算 考纲要求考点分布考情风向标1.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用2011年新课标卷以四棱锥为背景，考查求二面角的余弦值的大小；2012年新课标卷以三棱柱为背景，考查求二面角的大小；2013年新课标卷以三棱柱为背景，考查求线面所成角的正弦值；2014年新课标卷以三棱柱为背景，考查求二面角的余弦值)；2015年新课标卷考查求直线与直线所成角的余弦值在近年高考试卷中，立体几何常常以锥体或柱体为载体，命题呈现一题两法的新格局.一直以来
2、立体几何解答题都是让广大考生又喜又忧.为之而喜是因为只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.比较容易建系的就用空间向量(有三线两两垂直或面面垂直的)，否则还是利用传统的推理与证明1.异面直线所成的角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所(0，90成的角，其范围是_.(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于 0.90(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_.(3)平面的斜线与它在平
3、面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.2.直线与平面所成的角从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做_.直二面角4.点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.求点到平面的距离通常运用等积法，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高.5.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.二面角1
4、.若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()BA.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(1，2,3)D.(3,6,8)解析：向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.2.若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面的法向CA.4C.8B.6D.8量为1，12，2，则 m()解析：l，平面 的法向量为1，12，2，(2，m,1)1，12，2 212m20.m8.3.已知平面上的两个向量 a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面的一个法向量为()A.(1，1,1)C.(2,1,1)B.(2，1,1)D.(1,1，1)解析：显然 a 与 b 不平行，设平
5、面 的法向量为 n(x，y，z)，则an0，bn0.2x3yz0，5x6y4z0.令 z1，得 x2，y1.n(2,1,1).C4.如图871，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_.图 8-7-1105考点 1 线面所成角的计算例1：(2014年福建)在平面四边形 ABCD 中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图 8-7-2.(1)求证：ABCD；(2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.图 8-7-2(1)证明：平面ABD平面BCD，平面
6、ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又 CD平面 BCD，ABCD.(2)解：如图D55，过点B 在平面BCD 内作BEBD.图 D55由(1)知，AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.设平面 MBC 的法向量 n(x0，y0，z0)，以 B 为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为 x 轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图 D55).依题意，得 B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M0，12，12.则BC(1,1,0)，BM 0，12，12，AD(0,1，1).则 nBC0，nBM 0
7、，即x0y00，12y012z00.取 z01，得平面 MBC 的一个法向量 n(1，1,1).设直线 AD 与平面 MBC 所成角为，则 sin|cosn，AD|nAD|n|AD|63，即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 63.【规律方法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.空间向量的坐标法：建系
8、并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那 么创新的地方就是点 E 的位置的选择是一般的三等分点，用传统的方法解决对于学生来说就比较有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.【互动探究】1.(2011年大纲)如图873，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形.ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值.图873解法一：(1)如图D58，取AB中点E，连接DE，则四边形BC
9、DE 为矩形，DECB2，连接 SE，则 SEAB，SE 3.图D58又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE为直角.由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直.所以SD平面SAB.解法二：由已知易求得 SD1，AD 5，SA2，于是 SA2SD2AD2.可知 SDSA，同理可得 SDSB，又 SASBS.所以 SD平面 SAB.(2)由 AB平面 SDE 知，平面 ABCD平面 SDE.作 SFDE，垂足为 F，则 SF平面 ABCD，SFSDSEDE 32.作 FGBC，垂足为 G，则 FGDC1.连接 SG.则 SGBC.又 B
10、CFG，SGFGG，故 BC平面 SFG，平面 SBC平面 SFG.作 FHSG，H 为垂足，则 FH平面 SBC.FHSFFGSG 37，即 F 到平面 SBC 的距离为 217.由于 EDBC，所以 ED平面 SBC，E 到平面 SBC 的距离 d 也为 217.设 AB 与平面 SBC 所成的角为，则 sin dEB 217，所以 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 217.解法二：以C为原点，射线CD为x轴的正半轴，射线CB为y轴正半轴，建立如图D59所示的空间直角坐标系Cxyz.图D59 设D(1,0,0)，则A(2,2,0)，B(0,2,0).又设S(x，y，z)，则x0，y0
11、，z0.(1)AS(x2，y2，z)，BS(x，y2，z)，DS(x1，y，z)，由|AS|BS|得（x2）2（y2）2z2 x2（y2）2z2，故 x1.由|DS|1 得 y2z21，又由|BS|2 得 x2(y2)2z24，即 y2z24y10，故 y12，z 32.于是 S1，12，32，AS1，32，32，BS1，32，32，DS0，12，32，DSAS0，DSBS0.故 DSAS，DSBS，又 ASBSS，所以 SD平面 SAB.(2)设平面 SBC 的法向量 a(m，n，p)，则 aBS，aCB，aBS0，aCB0.又BS1，32，32，CB(0,2,0)，故m32n 32 p0，
12、2n0取 p2 得 a(3，0,2)，又AB(2,0,0)，cos ABa|AB|a|217.所以 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 217.考点 2 面面所成角的计算图 8-7-4 例2：(2014年湖南)如图874，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值.(1)证明：如图D56，因为四边形 ACC1A1 为矩形，图D56所以CC1AC.同理DD1BD.因为CC1DD1，所以CC1BD.而ACBDO，因此CC1底面A
13、BCD.由题设知，O1OC1C.故O1O底面ABCD.(2)解：方法一：如图D56，过O1作O1HOB1于H，连接HC1.由(1)知，O1O底面ABCD，所以O1O底面A1B1C1D1，于是O1OA1C1.又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，则A1C1B1D1.从而A1C1平面BDD1B1，所以A1C1OB1.于是OB1平面O1HC1，则OB1C1H.故C1HO1是二面角C1OB1D的平面角.不妨设AB2.因为CBA60，所以 OB 3，OC1，OB1 7.在 RtOO1B1 中，易知 O1HOO1O1B1OB12 37.又 O1C11，则
14、C1H O1C21O1H21127 197.故 cosC1HO1O1HC1H2 371972 5719，即二面角 C1-OB1-D 的余弦值为2 5719.方法二：因为四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 是菱形，因此 ACBD.又 O1O底面 ABCD，从而 OB，OC，OO1 两两垂直.如图 D57，以 O 为坐标原点，OB，OC，OO1 所在直线分别 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，不妨设 AB2.图 D57因为CBA60，所以 OB 3，OC1.故 O(0,0,0)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2).易知，n1(0,1,
15、0)是平面 BDD1B1 的一个法向量.设 n2(x，y，z)是平面 OB1C1 的一个法向量，则n2OB 10，n2OC 10，即 3x2z0，y2z0.取 z 3，则 x2，y2 3，所以 n2(2,2 3，3).设二面角 C1-OB1-D 的大小为，易知 是锐角，于是cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|2 319 2 5719.故二面角 C1-OB1-D 的余弦值为2 5719.【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法.,(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求
16、两个法向量的夹角得出二面角的大小【互动探究】2.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_.图 D60解析：方法一：建立如图 D60 所示的空间直角坐标系 Cxyz，设正方体的边长为 3，则 BEFC11，EB1CF2，且有A(3,3,0)，B(3,0,0)，E(3,0,1)，F(0,0,2)，C(0,0,0)，AE(0，3,1)，AF(3，3,2)，CF(0,0,2).设面 AEF 的一个法向量 n(x，y，z)，nAE，nAF3yz0，3x3y2z0 xyz3.令 z3，得 n(1,
17、1,3)，n 11.又CF(0,0,2)是面 ABC 的一个法向量，cosn，CF nCF|n|CF|62 11 311.sinn，CF211.tann，CF 23.方法二：延长 FE 交 CB 的延长线于点 G，连接 AG，则 AG为面 AEF 与面 ABC 的交线，由 B1E2EB，CF2FC1，得 CF2BE，B 为 GC 中点.设正方体的棱长为 1，则 AGAC 2.又 GC2，AC2AG2GC2.CAG90.FC平面ABC，FAAG.CAF 是面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角.在 RtACF 中，tanCAFCFAC232 23，故面 AEF与面 ABC 所成的二面角的
18、正切值等于 23.答案：23难点突破利用空间向量求空间距离例题：如图 8-7-5，S 是ABC 所在平面外一点，ABBC2a，ABC120，且 SA平面 ABC，SA3a，求点 A 到平面 SBC 的距离.图 8-7-5解：方法一，如图8-7-6，作 ADBC 交 BC 延长线于 D，连接 SD.图 8-7-6SA平面 ABC，SABC.又 SAADA，BC平面 SAD.又 BC平面 SBC，平面 SBC平面 SAD，且平面 SBC平面 SADSD.过点A 作AHSD 于 H，由平面与平面垂直的性质定理可知，AH平面 SBC.于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距离.在 RtSAD 中，
19、SA3a，ADABsin60 3a，AHSAADSA2AD23a 3a（3a）2（3a）232a，即点 A 到平面 SBC 的距离为32a.方法二，设 A 到平面 SBC 的距离为 h，VS-ABCVA-SBC，13SASABC13hSSBC，其中 SA3a.在ABC 中，AC AB2BC22ABBCcosABC4a24a224a212 2 3a，SABC12ABBCsinABC122a2a 32 3a2.在SBC 中，SB SA2AB2 13a，BC2a，SC SA2AC2 21a.cosSBC13a24a221a22 13a2a 113，sinSBC1 1132 3913.SSBC12SB
20、BCsinSBC12 13a2a2 3913 2 3a2，于是 hABCSBCSA SS3a 3a22 3a2 32a.方法三，如图8-7-7，以 A 为坐标原点，以AC，AS 所在直 线为 y 轴，z 轴，以过 A 点且垂直于 yOz 平面的直线为x 轴建立空间直角坐标系.图8-7-7ABC 中，ABBC2a，ABC120，AC AB2BC22ABBCcosABC2 3a.于是 A(0,0,0)，B(a，3a,0)，C(0,2 3a,0)，S(0,0,3a).设平面 SBC 的一个法向量 n(x，y，z).由 nSB，nSC及SB(a，3a，3a)，SC(0,2 3a，3a)，可得nSBax
21、 3ay3az0，nSC02 3ay3az0，即x 3y3z0，2 3y3z0.不妨取 n(3，3，2).设点 A 到平面 SBC 的距离为 d，则 d|ASn|n|006a|93432a.【规律方法】求点到平面的距离通常有以下方法：(1)直接法，即直接确定点到平面的垂线，再求出点到垂足 的距离，即为所求；(2)间接法，包括等体积法和转化法；(3)向量法，即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法 向量方向上的射影长，此射影长即为所求，点P 到平面的距离：d|PM m|m|(其中 m 为平面 的法向量，M 为 内任一点).1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或
22、直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.3.(1)设直线 l，m 的方向向量分别为 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，平面，的法向量分别为 m(a1，b1，c1)，n(a2，b2，c2)，则直线 l，m 的夹角 02，有 cos|x1x2y1y2z1z2|x21y21z21 x22y22z22；直线 l 与平面 的夹角 02，有 sin|am|a|m|cosa，m；平面，的夹角(0)，有|cos|mn|m|n|cosm，n|；(2)求空间距离：直线到平面的距离、两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离，点 P 到平面 的距离：d|PM m|m|(其中 m 为平面 的法向量，M 为 内任一点).