1、门头沟区2012年高三年级抽样测试2012.3数学（理工类）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷l至2页，第卷3至5页，共150分考试时间120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交第卷 (选择题 40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 已知全集，集合，则集合 等于(A)(B)(C)(D) 2在等差数列中，则此数列的前10项之和等于主视图左视图俯视图2112(A)(B)(C)(D)3己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为(A)8(B) 4(C)(D) 4在中，已知，则为（A）（B）（
2、C）（D）5极坐标和参数方程（为参数）所表示的图形分别是(A) 直线、圆(B) 直线、椭圆(C) 圆、圆(D) 圆、椭圆6在所在平面内有一点，满足，则等于(A) (B) (C) (D) 7已知点在抛物线上，则点到直线的距离和到直线 的距离之和的最小值为（A）(B）（C）（D）8正四棱柱的底面边长为，点是的中点，是平面内的一个动点，且满足，到和的距离相等，则点的轨迹的长度为(A)(B)(C)(D) 第卷 (非选择题110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9复数为纯虚数，则 10曲线与直线及轴所围成的图形的面积为 11某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按
3、笔试成绩择优取40名参加面试，随机抽查了20名笔试者，统计他们的成绩如下：分数段人数1366211由此预测参加面试所画的分数线是 2,4,612如右图：点是直径延长线上一点， 是的切线，是切点，则 13在平面上有两个区域和，其中满足，由确定，当时，和公共部分的面积是；当时，和的公共部分面积的最大值为 14给出定义：若(其中为整数)，则叫离实数最近的整数，记作，已知，下列四个命题：函数的定义域为，值域为； 函数是上的增函数；函数是周期函数，最小正周期为1； 函数是偶函数，其中正确的命题是 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）已知：函数
4、的周期为（）求的值；（）求函数的单调递增区间.16（本小题满分14分）如图，在多面体中，四边形为正方形，为的中点EDABCFH（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小17（本小题满分13分） 将编号为1，2，3，4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个球，表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数（）求1号球恰好落入1号盒子的概率；（）求的分布列和数学期望18(本小题满分13分）已知函数（）当时，讨论函数的单调性；（）设，当时，若对任意，当时，恒成立，求实数的取值范围2,4,619（本小题满分14分） 已知椭圆经过点，离心率为，过点的直
5、线与椭圆交于不同的两点（）求椭圆的方程；（）求的取值范围20（本小题满分13分）数列满足（）求，；() 求证:；（）求证: 门头沟区2012年高三年级抽样测试数学试卷（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分12345678CBADCCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，两个空的第一空分，第二空分，共30分910111213141三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分13分）已知：函数的周期为（）求的值；（）求函数的单调递增区间.解：（） 4分 6分因为函数的周期为所以 7分（）由（）知 8分当 时
6、函数单增10分 12分所以函数的单增区间为，其中 13分16（本小题满分14分）如图，在多面体中，四边形为正方形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小（）证明：，连结， OHEDABCF因为为正方形，所以是中点，又是中点，所以，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面所以平面4分（）证明：因为，是的中点，所以6分又因为，所以 yxAOHEDBCFz 又因为 所以平面， 因为平面，所以，8分所以平面9分（），两两垂直，建立如图所示的坐标系，设，则，10分设平面的法向量为， ，所以 11分平面的法向量为 12分 13分二面角为锐角，所以二面角等于14分 17（本
7、小题满分13分） 将编号为1，2，3，4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个球，表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数（）求1号球恰好落入1号盒子的概率；（）求的分布列和数学期望（） 设事件表示 “1号球恰好落入1号盒子”，所以1号球恰好落入1号盒子的概率为 5分（）的所有可能取值为0，1，2，4 6分 （每个1分）10分所以的分布列为11分数学期望 13分18（本小题满分13分）已知函数（）当时，讨论函数的单调性；（）设，当时，若对任意，当时，恒成立，求实数的取值范围解：（） 2分 令得 3分当时，函数在上单减 4分当时，在和上，有，函数
8、单减，在上， ，函数单增 6分（）当时，由（）知，函数在上是单减，在上单增所以函数在的最小值为8分若对任意，当时，恒成立，只需当时，即可所以，11分代入解得 所以实数的取值范围是 13分19（本小题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点（）求椭圆的方程；（）求的取值范围（）解: 由离心率为，可设，则因为经过点所以，解得，所以椭圆方程为 4分（）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，直线与椭圆的交点坐标为 5分由消元整理得： 7分 得 8分，9分 10分11分因为，所以所以的取值范围是14分20（本小题满分13分）数列满足（）求，；() 求证:；（）求证: （）解：，2分（）证明：由 知 ， （1）所以 即 5分从而 7分() 证明等价于 证明，即 （2） 8分当时 ， ，即时，（2）成立设时，（2）成立，即 当时，由（1）知 ； 11分又由（1）及 知 均为整数，从而由 有 即 ，所以 ，即（2）对也成立所以（2）对的正整数都成立，即对的正整数都成立 13分 注：不同解法请教师参照评标酌情给分
