1、第2讲基本不等式考纲解读1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题(重点)2.掌握基本不等式的内容，知道“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2021年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.1基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件两个不等式的关系a2b22aba，bRab在不等式a2b22ab中，若a0，b0，分别以，代替a，b可得ab2，即a0，
2、b0ab设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误3几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)，2(a2b2)(ab)2(a，bR)(5)ab(a，bR)(6)(a
3、0，b0)1概念辨析(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)函数f(x)的最小值为2.()(3)x0且y0是2的充要条件()答案(1)(2)(3)2小题热身(1)若x0，则x()A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为2D有最大值，且最大值为2答案D解析因为x0，所以x0，x2，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.(2)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82答案C解析基本不等式18xy29xy81，当且仅当xy时，xy有最大值81，故选C.(3)已知lg alg b2，则lg (ab)的最小值为()A1lg 2B
4、2C1lg 2D2答案A解析由lg alg b2，可知a0，b0，lg (ab)2，即ab100.所以ab2220，当且仅当ab10时取等号，所以lg (ab)lg 201lg 2.故lg (ab)的最小值为1lg 2.(4)周长为12的矩形，其面积的最大值为_答案9解析设此矩形的长和宽分别为x，y，则2(xy)12，xy6.所以xy29.当且仅当xy3时，xy取得最大值9.即此矩形面积的最大值为9.题型一利用基本不等式求最值角度1直接应用1(2019开封模拟)若实数x，y满足2x2y1，则xy的最大值是()A4B2C2D4答案B解析由题得2x2y22(当且仅当xy1时取等号)，所以12，所以
5、2xy，所以222xy，所以xy2.所以xy的最大值为2.角度2拼凑法求最值2(1)求f(x)4x2的最大值；(2)已知x为正实数且x21，求x的最大值解(1)因为x，所以54x0，则f(x)4x23231，当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(2)因为x0，所以x ，当且仅当x2，即x，y2时，等号成立又x2，所以x，即(x)max.角度3构造不等式求最值(多维探究)3已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值为()A3B4CD答案B解析因为x0，y0，且x2y2xy8，所以x2y82xy82，当且仅当x2y，即x2，y1时，等号成立整理得(x2y)24(x
6、2y)320，解得x2y4或x2y8.又x2y0，所以x2y4.故x2y的最小值为4.条件探究将本例中的条件“x2y2xy8”改为“4xyx2y4”，其他条件不变，则xy的最小值为_答案2解析因为x0，y0且4xyx2y4，所以4xy4x2y2，当且仅当x2y，即x2，y1时，等号成立整理可得2xy20.解得2，即xy2，所以xy的最小值为2.角度4常数代换法求最值(多维探究)4(2019北京师大附中模拟)已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an，使得aman16a，则的最小值为()A.BCD不存在答案C解析设正项等比数列an的公比为q，且q0，由a7a62a5得a6qa
7、6，化简得，q2q20，解得q2或q1(舍去)，因为aman16a，所以(a1qm1)(a1qn1)16a，则qmn216，解得mn6，所以(mn).当且仅当时取等号，此时解得因为m，n取正整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当m2，n4时，取得最小值为.条件探究将本例中数列an满足的条件改为“数列an是等差数列，an0，且a52”，则的最小值为_答案4解析由已知得，a2a82a54，且a20，a80.所以(a2a8)4，当且仅当，即a83a2时等号成立所以的最小值为4.1.拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价
8、变形如举例说明2(2)；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标如举例说明2(1)；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件.2.通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解.3.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式如举例说明4；(4)利用基本不等式求解最值.1.若正数x，y满足x23xy10，则xy的最小值是()A.BCD答案B解析由x
9、23xy10可得y，xy2.故选B.2.(2020岳阳一中月考)已知ab0，则2a的最小值为()A.6B4C2D3答案A解析因为ab0，所以ab0，ab0，所以2aabab2 2 426.当且仅当ab且ab，即a，b时等号成立.所以2a的最小值为6.题型二基本不等式的综合应用角度1基本不等式中的恒成立问题1.(2019河南平顶山一模)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是()A.aBaCaDa答案A解析因为对任意x0，a恒成立，所以对x(0，)，amax，而对x(0，)，当且仅当x1时等号成立，所以a.故选A.角度2基本不等式与其他知识的综合问题2(2019昆明模拟)如图，在矩形ABCD中，
10、已知AB4，AD3，点E，F分别在BC，CD上，且EAF45.设BAE，当四边形AECF的面积取得最大值时，则tan_.答案1解析在直角三角形ABE中，可得BE4tan(0tan1)，在直角三角形ADF中，DF3tan(45)，可得四边形AECF的面积S1244tan33tan(45)128tan208(1tan)8(1tan)212，当且仅当8(1tan)，即tan1，且满足0tan0恒成立，得k13x.3x2，当且仅当3x时，等号成立.k12，即k21.2.设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是()A.BC.2D2答案A解析ana1(n1)dn，Sn，当且仅当
11、n4时取等号的最小值是.故选A.题型三基本不等式在实际问题中的应用(2019湖北七市(州)教科研协作体联考)如图，将1张长为2 m，宽为1 m的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为_ m3.答案解析设长方体底面边长为x m，宽为y m，高为z m，如图所示，则解得x1y，z1y.所以该长方体的体积为xyzy(1y)(1y)2y(1y)(1y)3，当且仅当2y1y，即y时，等号成立故此长方体体积的最大值为 m3.利用基本不等式求解实际问题的策略(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的
12、最值.(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立.(2019成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元.答案220解析设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1k1x(k10)，y2(k20)，工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，k15，k220，运费与仓储费之和为万元，5x220，当且仅当5x，即x2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.